Sorunun Çözümü
Soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Verilen bilgiler ve geometrik olarak ortaya çıkan ilişkileri kullanarak detaylı ve sağlam bir çözüm sunacağım.
1. DE uzunluğunu bulun
Soruda verilen parametreler:
- AB = 15 cm, AC = 20 cm, ve BC = 25 cm.
- Ayrıca, AD : DB = 3 : 2 oranı ve DE ∥ BC doğrusu ifade edilmiş. Bu durumda benzerlik kullanacağız.
AD ve DB uzunluklarını bulma
Verilen oran AD:DB = 3:2, bu AB uzunluğunu böler ve AD ile DB uzunluklarının toplamı AB’nin uzunluğu kadar olur (AB = AD + DB). Bölüm oranını kullanarak uzunlukları hesaplayabiliriz.
Oran:
AD = \frac{3}{3+2} \cdot AB, \quad DB = \frac{2}{3+2} \cdot AB
Hesaplama:
AD = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9 \, \text{cm}
DB = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \, \text{cm}
DE’nin uzunluğu
DE, BC’ye paralel bir doğru olduğu için △ADE ve △ABC üçgenleri benzerdir. Bu benzerlik sayesinde, oranları kullanarak DE uzunluğunu bulabiliriz.
Benzerlik oranı:
Benzerlik oranı, AD/AB oranına eşittir:
\text{Benzerlik oranı} = \frac{AD}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
DE uzunluğu bu oran ile BC’nin uzunluğunu ilişkili şekilde belirler:
DE = \frac{3}{5} \cdot BC = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 \, \text{cm}
Sonuç: DE = 15 cm
2. △ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerliğini gösterin
△ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerlik kuralı vardır çünkü:
- DE ∥ BC olduğu bilgisi verilmiş. Paralel doğrular, ilgili açılar arasında benzerlik oluşturur. Bu durumda ∠ADE ≅ ∠ABC ve ∠DAE ≅ ∠CAB açıları eşittir.
- Kenar uzunlukları arasında orantı vardır: AD/AB = 3/5, AE/AC = 3/5, ve DE/BC = 3/5. Bu oranlar, orantılı kenar kriterini sağlar.
Sonuç olarak AAA (Açı-Açıyı-Açıyı) benzerlik kriteri sağlanır.
△ABC ∼ △ADE (benzerlik sağlanır).
3. Benzerlik oranını belirleyin
Benzerlik oranı daha önceki adımda hesaplandı. △ADE ve △ABC arasındaki oran:
\text{Benzerlik oranı} = \frac{\text{Küçük üçgenin kenar uzunlukları}}{\text{Büyük üçgenin kenar uzunlukları}}
Bu oran:
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{3}{5}
Sonuç: Benzerlik oranı = 3:5
4. △ABC ve △DEF eş midir, neden?
Eşlik kriterleri:
Bir üçgenin diğerine eş olması için, kenarlar tamamen eşit olmalı ve açıları da birbirine tam uyumlu olmalıdır. Şimdi kontrollerimizi yapalım:
- Kenar uzunlukları: △ABC ve △DEF üçgenlerinin oranları farklıdır. DF ve EF kenarları, △ABC’nin kenarlarına tam olarak eşit değildir. Bu nedenle eşlik sağlanamaz.
- Benzerlik: △DEF, △ADE ile benzerdir ve aynı zamanda △ABC ile benzerdir. Ancak benzerlik eşlik anlamına gelmez.
Sonuç olarak △ABC ve △DEF eş değildir.
Sonuçların Tablosu
Problem |
Sonuç |
DE uzunluğu |
DE = 15 cm |
△ABC ve △ADE benzerliği |
Benzerlik sağlanır (AAA kuralı) |
Benzerlik oranı |
3:5 |
△ABC ve △DEF eşliği |
Eş DEĞİL, sadece BENZER! |
Eğer başka bir adımda yardıma ihtiyacınız olursa, sormaktan çekinmeyin!
@Yunus_Gencel