Bu soruyu çözebilir misin? acaba?

YKS TYT
1

Problem:
ABCABCABC üçgeninde AB=15AB = 15AB=15 cm, AC=20AC = 20AC=20 cm ve BC=25BC = 25BC=25 cm’dir.
DDD ve EEE, sırasıyla ABABAB ve ACACAC kenarları üzerinde öyle bir noktadır ki DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC ve AD:DB=3:2AD:DB = 3:2AD:DB=3:2 oranındadır.

  1. DEDEDE uzunluğunu bulun.
  2. △ABC\triangle ABC△ABC ile △ADE\triangle ADE△ADE üçgenlerinin benzerliğini gösterin.
  3. Benzerlik oranını belirleyin.
  4. △ABC\triangle ABC△ABC ve △DEF\triangle DEF△DEF eş midir, neden?
2

Sorunun Çözümü

Soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Verilen bilgiler ve geometrik olarak ortaya çıkan ilişkileri kullanarak detaylı ve sağlam bir çözüm sunacağım.

1. DE uzunluğunu bulun

Soruda verilen parametreler:

  • AB = 15 cm, AC = 20 cm, ve BC = 25 cm.
  • Ayrıca, AD : DB = 3 : 2 oranı ve DE ∥ BC doğrusu ifade edilmiş. Bu durumda benzerlik kullanacağız.

AD ve DB uzunluklarını bulma

Verilen oran AD:DB = 3:2, bu AB uzunluğunu böler ve AD ile DB uzunluklarının toplamı AB’nin uzunluğu kadar olur (AB = AD + DB). Bölüm oranını kullanarak uzunlukları hesaplayabiliriz.

Oran:

AD = \frac{3}{3+2} \cdot AB, \quad DB = \frac{2}{3+2} \cdot AB

Hesaplama:

AD = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9 \, \text{cm}
DB = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \, \text{cm}

DE’nin uzunluğu

DE, BC’ye paralel bir doğru olduğu için △ADE ve △ABC üçgenleri benzerdir. Bu benzerlik sayesinde, oranları kullanarak DE uzunluğunu bulabiliriz.

Benzerlik oranı:
Benzerlik oranı, AD/AB oranına eşittir:

\text{Benzerlik oranı} = \frac{AD}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

DE uzunluğu bu oran ile BC’nin uzunluğunu ilişkili şekilde belirler:

DE = \frac{3}{5} \cdot BC = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 \, \text{cm}

Sonuç: DE = 15 cm

2. △ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerliğini gösterin

△ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerlik kuralı vardır çünkü:

  1. DE ∥ BC olduğu bilgisi verilmiş. Paralel doğrular, ilgili açılar arasında benzerlik oluşturur. Bu durumda ∠ADE ≅ ∠ABC ve ∠DAE ≅ ∠CAB açıları eşittir.
  2. Kenar uzunlukları arasında orantı vardır: AD/AB = 3/5, AE/AC = 3/5, ve DE/BC = 3/5. Bu oranlar, orantılı kenar kriterini sağlar.

Sonuç olarak AAA (Açı-Açıyı-Açıyı) benzerlik kriteri sağlanır.

△ABC ∼ △ADE (benzerlik sağlanır).

3. Benzerlik oranını belirleyin

Benzerlik oranı daha önceki adımda hesaplandı. △ADE ve △ABC arasındaki oran:

\text{Benzerlik oranı} = \frac{\text{Küçük üçgenin kenar uzunlukları}}{\text{Büyük üçgenin kenar uzunlukları}}

Bu oran:

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{3}{5}

Sonuç: Benzerlik oranı = 3:5

4. △ABC ve △DEF eş midir, neden?

Eşlik kriterleri:
Bir üçgenin diğerine eş olması için, kenarlar tamamen eşit olmalı ve açıları da birbirine tam uyumlu olmalıdır. Şimdi kontrollerimizi yapalım:

  1. Kenar uzunlukları: △ABC ve △DEF üçgenlerinin oranları farklıdır. DF ve EF kenarları, △ABC’nin kenarlarına tam olarak eşit değildir. Bu nedenle eşlik sağlanamaz.
  2. Benzerlik: △DEF, △ADE ile benzerdir ve aynı zamanda △ABC ile benzerdir. Ancak benzerlik eşlik anlamına gelmez.

Sonuç olarak △ABC ve △DEF eş değildir.

Sonuçların Tablosu

Problem Sonuç
DE uzunluğu DE = 15 cm
△ABC ve △ADE benzerliği Benzerlik sağlanır (AAA kuralı)
Benzerlik oranı 3:5
△ABC ve △DEF eşliği Eş DEĞİL, sadece BENZER!

Eğer başka bir adımda yardıma ihtiyacınız olursa, sormaktan çekinmeyin! :blush: @Yunus_Gencel