Bu soruyu çözebilir misin? acaba?

Problem:
ABCABCABC üçgeninde AB=15AB = 15AB=15 cm, AC=20AC = 20AC=20 cm ve BC=25BC = 25BC=25 cm’dir.
DDD ve EEE, sırasıyla ABABAB ve ACACAC kenarları üzerinde öyle bir noktadır ki DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC ve AD:DB=3:2AD:DB = 3:2AD:DB=3:2 oranındadır.

  1. DEDEDE uzunluğunu bulun.
  2. △ABC\triangle ABC△ABC ile △ADE\triangle ADE△ADE üçgenlerinin benzerliğini gösterin.
  3. Benzerlik oranını belirleyin.
  4. △ABC\triangle ABC△ABC ve △DEF\triangle DEF△DEF eş midir, neden?

Sorunun Çözümü

Soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Verilen bilgiler ve geometrik olarak ortaya çıkan ilişkileri kullanarak detaylı ve sağlam bir çözüm sunacağım.


1. DE uzunluğunu bulun

Soruda verilen parametreler:

  • AB = 15 cm, AC = 20 cm, ve BC = 25 cm.
  • Ayrıca, AD : DB = 3 : 2 oranı ve DE ∥ BC doğrusu ifade edilmiş. Bu durumda benzerlik kullanacağız.

AD ve DB uzunluklarını bulma

Verilen oran AD:DB = 3:2, bu AB uzunluğunu böler ve AD ile DB uzunluklarının toplamı AB’nin uzunluğu kadar olur (AB = AD + DB). Bölüm oranını kullanarak uzunlukları hesaplayabiliriz.

Oran:

AD = \frac{3}{3+2} \cdot AB, \quad DB = \frac{2}{3+2} \cdot AB

Hesaplama:

AD = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9 \, \text{cm}
DB = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \, \text{cm}

DE’nin uzunluğu

DE, BC’ye paralel bir doğru olduğu için △ADE ve △ABC üçgenleri benzerdir. Bu benzerlik sayesinde, oranları kullanarak DE uzunluğunu bulabiliriz.

Benzerlik oranı:
Benzerlik oranı, AD/AB oranına eşittir:

\text{Benzerlik oranı} = \frac{AD}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

DE uzunluğu bu oran ile BC’nin uzunluğunu ilişkili şekilde belirler:

DE = \frac{3}{5} \cdot BC = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 \, \text{cm}

Sonuç: DE = 15 cm


2. △ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerliğini gösterin

△ABC ile △ADE üçgenlerinin benzerlik kuralı vardır çünkü:

  1. DE ∥ BC olduğu bilgisi verilmiş. Paralel doğrular, ilgili açılar arasında benzerlik oluşturur. Bu durumda ∠ADE ≅ ∠ABC ve ∠DAE ≅ ∠CAB açıları eşittir.
  2. Kenar uzunlukları arasında orantı vardır: AD/AB = 3/5, AE/AC = 3/5, ve DE/BC = 3/5. Bu oranlar, orantılı kenar kriterini sağlar.

Sonuç olarak AAA (Açı-Açıyı-Açıyı) benzerlik kriteri sağlanır.

△ABC ∼ △ADE (benzerlik sağlanır).


3. Benzerlik oranını belirleyin

Benzerlik oranı daha önceki adımda hesaplandı. △ADE ve △ABC arasındaki oran:

\text{Benzerlik oranı} = \frac{\text{Küçük üçgenin kenar uzunlukları}}{\text{Büyük üçgenin kenar uzunlukları}}

Bu oran:

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{3}{5}

Sonuç: Benzerlik oranı = 3:5


4. △ABC ve △DEF eş midir, neden?

Eşlik kriterleri:
Bir üçgenin diğerine eş olması için, kenarlar tamamen eşit olmalı ve açıları da birbirine tam uyumlu olmalıdır. Şimdi kontrollerimizi yapalım:

  1. Kenar uzunlukları: △ABC ve △DEF üçgenlerinin oranları farklıdır. DF ve EF kenarları, △ABC’nin kenarlarına tam olarak eşit değildir. Bu nedenle eşlik sağlanamaz.
  2. Benzerlik: △DEF, △ADE ile benzerdir ve aynı zamanda △ABC ile benzerdir. Ancak benzerlik eşlik anlamına gelmez.

Sonuç olarak △ABC ve △DEF eş değildir.


Sonuçların Tablosu

Problem Sonuç
DE uzunluğu DE = 15 cm
△ABC ve △ADE benzerliği Benzerlik sağlanır (AAA kuralı)
Benzerlik oranı 3:5
△ABC ve △DEF eşliği Eş DEĞİL, sadece BENZER!

Eğer başka bir adımda yardıma ihtiyacınız olursa, sormaktan çekinmeyin! :blush: @Yunus_Gencel