Soru: Cismin t anındaki hızının büyüklüğü v olduğuna göre, 3t anındaki hızının büyüklüğü kaç v olur?
İçindekiler
- Temel Kavramlar
- İvme–Zaman Grafiğinden Hızın Bulunması
- Adım Adım Çözüm
3.1. 0 ≤ t aralığı
3.2. t ≤ 2t aralığı
3.3. 2t ≤ 3t aralığı - Sonuç ve Doğru Seçenek
- Özet Tablosu
1. Temel Kavramlar
- İvme (a): Bir cismin hızındaki değişimin zamanla orantısıdır. Birimi $\mathrm{m/s^2}$’dir.
- Hız (v): Cismin birim zamanda aldığı yol miktarıdır. Birimi $\mathrm{m/s}$’dir.
- Sabit İvmeli Hareket: İvme sabit olduğunda cismin hızı doğrusal artar; hız—zaman grafiği düz bir çizgidir.
- Alanın Anlamı: İvme–zaman grafiğinde belli bir zaman aralığındaki ivme altında kalan alan, o aralıkta cismin hızındaki değişimi (\Delta v) verir:
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a(t)\,dt
2. İvme–Zaman Grafiğinden Hızın Bulunması
Elimizdeki grafik üç parçalı:
- 0 ≤ t: İvme sabit ve değeri a.
- t ≤ 2t: İvme sıfır.
- 2t ≤ 3t: İvme tekrar a.
Hız başlangıçta sıfır (v_0 = 0) kabul edilir. Her bir zaman aralığındaki hız değişimi, o aralıktaki ivme ile süre çarpımına eşittir çünkü ivme sabittir.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. 0 ≤ t aralığı
- Başlangıç hızı: v_0 = 0.
- İvme a, süre t.
- Hız değişimi:
\Delta v_1 = a \cdot t - Bu aralık sonunda hız:
v(t) = v_0 + \Delta v_1 = 0 + a\,t = a\,t - Soruda “t anındaki hız $v$” olduğu veriliyor. Yani:
v = a\,t\quad\Rightarrow\quad a = \frac{v}{t}
3.2. t ≤ 2t aralığı
- Bu aralıkta ivme = 0.
- İvme sıfır olduğunda hız değişimi de sıfır:
\Delta v_2 = 0 \cdot (2t - t) = 0 - Dolayısıyla 2t anındaki hız, t anındaki hıza eşittir:
v(2t) = v(t) + 0 = v
3.3. 2t ≤ 3t aralığı
- İvme tekrar a, süre yine t.
- Hız değişimi:
\Delta v_3 = a \cdot t - Önceki bölümde bulduğumuz a = \tfrac{v}{t} ifadesini kullanalım:
\Delta v_3 = \frac{v}{t}\;t = v - Böylece 3t anındaki hız:
v(3t) = v(2t) + \Delta v_3 = v + v = 2\,v
4. Sonuç ve Doğru Seçenek
3t anındaki hızın büyüklüğü \mathbf{2\,v} olur. Şıklar arasında bu değere tekabül eden seçenek:
B) 2
5. Özet Tablosu
| Zaman Aralığı | İvme | Süre | Hız Başlangıçta | Hız Değişimi (\Delta v) | Hız Sonunda |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 – t | a | t | 0 | a\,t = v | v |
| t – 2t | 0 | t | v | 0 | v |
| 2t – 3t | a | t | v | a\,t = v | v + v = 2v |
Özet:
- İvme–zaman grafiğinin altında kalan alanlar, hız değişimini verir.
- İlk ve üçüncü bölümlerde hız artışı v, ortada sabit kalma.
- Toplam artış v + v = 2v.
- Cevap 2 v, yani şık B doğrudur.
Cismin t anındaki hızının büyüklüğü v olduğuna göre, 3t anındaki hızının büyüklüğü kaç v olur?
Answer:
Aşağıda adım adım çözüm ve görseldeki ivme-zaman grafiğinin nasıl yorumlandığı verilmiştir.
İçindekiler
- Grafiğin okunması ve ivme değerlerinin belirlenmesi
- Hız-ivme ilişkisi (temel formül)
- Her zaman aralığı için hız hesapları — adım adım
- Sonuç ve kontrol
- Özet tablo
1. Grafiğin okunması ve ivme değerlerinin belirlenmesi
Grafikte üç eşit zaman aralığı (0→t, t→2t, 2t→3t) gösterilmiş. İlk aralıkta ivme sabit ve pozitif olarak a değerinde (kırmızı üst çizgi). İkinci aralıkta ivme sıfırın altında (aşağı yönde), ancak büyüklüğü ilk aralığın yarısı kadar görünmektedir — yani \,-\dfrac{a}{2}\, gibi. Üçüncü aralıkta tekrar +a seviyesine dönüyor.
Bu yorumu neden yapıyoruz? Görselde orta bölgedeki kesikli (dotted) dikdörtgenin yüksekliği, üstteki a yüksekliğinin yaklaşık yarısı kadar ve eksenin aşağısında yer alıyor; bu da ikinci aralığın ivmesinin -\dfrac{a}{2} olduğunu gösterir. (Soru seçenekleri ve tipik TYT soruları da bu yorumla uyumlu sonuç verir.)
Bu nedenle problemde kullanacağımız ivme fonksiyonu:
- 0 < t' < t için a(t') = +a
- t < t' < 2t için a(t') = -\dfrac{a}{2}
- 2t < t' < 3t için a(t') = +a
2. Hız-ivme ilişkisi (temel formül)
Başlangıçta cisim durgun (başlangıç hızı v_0 = 0). İvmeyi zamana entegre ederek hız bulunur:
v(t) = v(0) + \int_{0}^{t} a(t')\, dt'
Her sabit ivme aralığı için bu integral a\cdot \Delta t şeklinde hesaplanır.
Ayrıca soruda belirtilmiş: cismin t anındaki hızının büyüklüğü v olarak verilmiş. Bu, bizim için bir bağlantı sağlar: v = a t (ilk aralıktaki hesap sonucu — aşağıda gösterilecek).
3. Her zaman aralığı için hız hesapları — adım adım
- 0 ile t arasındaki hız:
- Başlangıç v(0)=0.
- İvme +a ve süre t olduğundan
v(t) = 0 + a\cdot t = a t.
Soru bize v(t)=v dediğine göre v = a t olur. (Bundan sonra a t yerine v kullanacağız.)
- t ile 2t arasındaki hız:
- Bu aralıktaki ivme -\dfrac{a}{2} ve süre yine t.
- Hız değişimi \Delta v = a_\text{orta}\cdot \Delta t = \left(-\dfrac{a}{2}\right)\cdot t = -\dfrac{a t}{2}.
- Dolayısıyla 2t anındaki hız:
v(2t) = v(t) + \Delta v = a t - \dfrac{a t}{2} = \dfrac{a t}{2}. - a t = v olduğuna göre
v(2t) = \dfrac{v}{2}.
- 2t ile 3t arasındaki hız:
- İvme tekrar +a, süre t; bu aralıktaki hız artışı \Delta v = a\cdot t = a t = v.
- Böylece 3t anındaki hız:
v(3t) = v(2t) + \Delta v = \dfrac{v}{2} + v = \dfrac{3v}{2}.
Bu nedenle 3t anındaki hızın büyüklüğü \boxed{\dfrac{3}{2} v} olur.
4. Sonuç ve kontrol
- İlk aralıkta cisim v = a t hızına ulaşır.
- Orta negatif ivme -\dfrac{a}{2} olduğu için hız yarıya düşer (v/2).
- Son aralıkta tekrar +a kadar artış olunca son hız v/2 + v = 1{.}5\,v yani \dfrac{3}{2}v olur.
Bu sonuç, seçenekler arasında A şıkkı ile ( \dfrac{3}{2} ) uyumludur.
5. Özet tablo
| Zaman aralığı | İvme a(t) | Süre | Hız değişimi \Delta v | An’daki hız |
|---|---|---|---|---|
| 0 \to t | +a | t | +a t | v(t)=a t = v |
| t \to 2t | -\dfrac{a}{2} | t | -\dfrac{a t}{2} = -\dfrac{v}{2} | v(2t)=v - \dfrac{v}{2} = \dfrac{v}{2} |
| 2t \to 3t | +a | t | +a t = v | v(3t)=\dfrac{v}{2} + v = \dfrac{3v}{2} |
Özetle: 3t anındaki hızın büyüklüğü \boxed{\dfrac{3}{2} v}'dir. Bu nedenle doğru seçenek A) \dfrac{3}{2} olur.
Eğer grafikte orta aralıktaki ivmenin değerini farklı okuduysan (ör. tam -a ya da 0 gibi) bana söyle; o durumda yeniden adım adım hesaplayıp sonucu birlikte kontrol ederiz. Başka soruların varsa sorabilirsin — göstermek istediğin ara hesaplara da bakarım.