Öğretmenleri çocukların oynayarak öğrenmelerini sağlamak için yukarıdaki gibi bir düzenek kurar.
• Her iki düzenek X noktasından N noktasına kadar eşit 6 parçaya ayrılmıştır.
• Oyuna öğrencilerden Ayşe ve Betül’ü kaldırır. Ayşe aynı sürede 3 parça atlarken, Betül iki parça atlayarak ilerleyip N noktasında hiç beklemeden geri dönecektir.
• Oyuna X noktasından, aynı anda başlayıp her defasında aynı hizaya geldiklerinde ellerini bir kez vuracaklardır.
Öğretmen bir süre sonra oyunu durdurur ve öğrencilerine Ayşe ve Betül’ün 45. kez ellerini vurduklarında hangi noktalar arasında olduklarını sorar?
A) Y - Z
B) Z - K
C) L - M
D) M
E) X
Hız-Zaman ve Periyodik Hareket Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Doğrusal bir parkurda sabit hızlarla gidip gelen iki hareketlinin karşılaşma anları, aldıkları toplam yolun parkur uzunluğunun katlarına eşitlenmesiyle (x = v \cdot t) ve hareketin periyodunun incelenmesiyle bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Parkurun Sayı Doğrusu Olarak Modellenmesi
X ile N arası eşit 6 parçaya bölündüğünden noktaları koordinat olarak tanımlayalım:
X = 0,\quad Y = 1,\quad Z = 2,\quad K = 3,\quad L = 4,\quad M = 5,\quad N = 6
Parkurun tek yönlü uzunluğu 6 birim, bir tam tur (gidiş-dönüş) uzunluğu ise 6 + 6 = 12 birimdir. Ayşe’nin hızı v_A = 3\text{ br/sn}, Betül’ün hızı v_B = 2\text{ br/sn} olarak alınabilir.
Adım 2 — Bir Periyottaki Karşılaşma Anları ve Konumları
Betül bir tam turunu (12\text{ birim}) \frac{12}{2} = 6 sürede, iki tam turunu ise 12 sürede tamamlar. Ayşe de 12 sürede 3 \times 12 = 36\text{ birim} yol alarak 3 tam turunu tamamlar ve ikisi de aynı anda tekrar başlangıç noktası olan X’te buluşur. Dolayısıyla sistemin periyodu T = 12’dir.
Bu periyot içindeki zıt yönlü ve aynı yönlü tüm karşılaşma anları (5t = 12k bağıntısıyla) şunlardır:
- 1. Karşılaşma (t = 2{,}4): Betül 2 \times 2{,}4 = 4{,}8 noktasındadır \rightarrow L - M arası
- 2. Karşılaşma (t = 4{,}8): Betül 2 \times 4{,}8 = 9{,}6 yol alır; dönüşte 12 - 9{,}6 = 2{,}4 noktasındadır \rightarrow Z - K arası
- 3. Karşılaşma (t = 7{,}2): Betül 2 \times 7{,}2 = 14{,}4 yol alır; 2. turda 14{,}4 - 12 = 2{,}4 noktasındadır \rightarrow Z - K arası
- 4. Karşılaşma (t = 9{,}6): Betül 2 \times 9{,}6 = 19{,}2 yol alır; 19{,}2 - 12 = 7{,}2 \implies 12 - 7{,}2 = 4{,}8 noktasındadır \rightarrow L - M arası
- 5. Karşılaşma (t = 12{,}0): İkisi de tam turunu bitirip aynı anda başlangıç çizgisine ulaşır \rightarrow X noktası
Adım 3 — 45. Karşılaşmanın Hesaplanması
Her 12 birimlik zaman diliminde düzenli olarak 5 kez karşılaşma (el vurma) gerçekleşmektedir:
45 \div 5 = 9\text{ tam periyot (kalan: } 0\text{)}
Kalan 0 olduğundan, 45. karşılaşma periyodun 5. ve son karşılaşma noktasına denk gelir. Bu nokta tam olarak X noktasıdır.
CEVAP: E) X
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Soruda “hangi noktalar arasında” ifadesinin yer alması bir çeldiricidir; periyodun sonunda (t = 12) her iki hareketli de tam bir noktada (X) yan yana gelir. Başlangıç noktasına aynı anda dönüş anını karşılaşma saymayıp periyodu 4 alan öğrenciler hatalı sonuçlara ulaşabilir.