Kırmızı, mavi ve sarı toplardan oluşan bir top kümesinin sayımında ilk 40 toptan 35’i mavi, sonraki her 7 toptan 5’i mavi 1’i kırmızı 1’i sarıdır.
Bu kümedeki bütün topların \%80’i veya daha fazlası mavi top olduğuna göre, kümedeki sarı top sayısı en fazla kaç olabilir?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Yüzde Problemleri ve Eşitsizlik ile En Büyük Değer Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir gruptaki mavi topların tüm toplara oranı \frac{\text{Mavi Top Sayısı}}{\text{Toplam Top Sayısı}} \ge \frac{80}{100} = \frac{4}{5} eşitsizliği kurularak çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayım Gruplarının ve Değişkenin Belirlenmesi
İlk grupta 40 top sayılmış ve bunlardan 35’i mavi olarak belirlenmiştir. Geriye kalan 40 - 35 = 5 top kırmızı veya sarıdır.
İlk 40 toptan sonraki 7’şerli grup sayısı x olsun:
- Her grupta 7 top bulunduğundan eklenen toplam top sayısı: 7x
- Her grupta 5 mavi top bulunduğundan eklenen mavi top sayısı: 5x
- Her grupta 1 sarı top bulunduğundan eklenen sarı top sayısı: x
Adım 2 — Yüzde Eşitsizliğinin Kurulması ve Çözümü
Kümedeki mavi topların tüm toplara oranı en az \%80 (\frac{4}{5}) olmalıdır:
\frac{35 + 5x}{40 + 7x} \ge \frac{4}{5}
İçler dışlar çarpımı yapıldığında:
5 \cdot (35 + 5x) \ge 4 \cdot (40 + 7x)
175 + 25x \ge 160 + 28x
15 \ge 3x \implies x \le 5
Buradan eklenen 7’şerli grup sayısı en fazla x = 5 olabilir.
Adım 3 — Sarı Top Sayısının En Büyük Değerinin Bulunması
Kümedeki sarı top sayısının en fazla olması için:
- İlk 40 toptan mavi olmayan geriye kalan 5 topun tamamı sarı seçilebilir (5 sarı).
- Sonraki gruplardan da en fazla x = 5 sarı top gelir.
\text{Maksimum Sarı Top Sayısı} = 5 + 5 = 10
CEVAP: B) 10
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda ilk 40 topun yalnızca 35’inin mavi olduğu belirtilmiş, kalan 5 topun rengi dağıtılmamıştır. Sarı top sayısını en fazla yapmak için geriye kalan 5 topun tamamının sarı olabileceği gözden kaçırılmamalıdır.