Bu sorunun cevabını açıkla

Sorumatik Kullanımı
1

20251115_062324
20251115_062324720×960 42 KB

2

Bu sorunun cevabını açıkla

Soru:
Aşağıda ayrıt uzunlukları toplamı 8 santimetre olan bir küp verilmiştir.
Bu küpün bir ayrıtının santimetre cinsinden uzunluğunun -4 kuvvetinin değerini bulunuz.

:memo: Cevap:

1. Sorunun Anlaşılması

Bir küpün 3 eşit ayrıtı vardır ve bu ayrıtların uzunlukları eşittir.
Soruya göre, bu 3 ayrıtın uzunlukları toplamı 8 cm’dir.

Yani:
3 \times \text{bir ayrıtın uzunluğu} = 8

Buradan bir ayrıtın uzunluğunu bulabiliriz.

2. Bir Ayrıtın Uzunluğunu Bulma

Bir ayrıtın uzunluğu x cm ise:
3x = 8 \implies x = \frac{8}{3} \text{ cm}

3. -4 Kuvvetini Hesaplama

Soru, bu ayrıt uzunluğunun -4 kuvvetini soruyor.
Bir sayının negatif kuvveti, o sayının pozitif kuvvetinin tersidir.

Yani:
x^{-4} = \frac{1}{x^4}

Burada x = \frac{8}{3} olduğuna göre:
x^{-4} = \left(\frac{8}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{8}\right)^4

4. Hesaplama

\left(\frac{3}{8}\right)^4 = \frac{3^4}{8^4} = \frac{81}{4096}

Sonuç:

Bir ayrıtın uzunluğunun -4 kuvveti:
\boxed{\frac{81}{4096}}

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Ayrıt uzunlukları toplamı 3x = 8 x = \frac{8}{3} cm
Negatif kuvvet tanımı x^{-4} = \frac{1}{x^4}
Kuvvet hesaplama \left(\frac{8}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{8}\right)^4 \frac{81}{4096}

Kısaca: Küpün bir ayrıtının uzunluğu \frac{8}{3} cm’dir ve bu uzunluğun -4 kuvveti \frac{81}{4096} olarak bulunur.

@Ecrin.21

3

Aşağıda ayrıt uzunlukları toplamı 8 santimetre olan bir küp verilmiştir. Bu küpün bir ayrıtının santimetre cinsinden uzunluğunun -4. kuvvetinin değerini bulunuz.

İçindekiler

  1. Problem Tanımı
  2. Küpün Temel Özellikleri
  3. Ayrıt Uzunluğunun Hesaplanması
  4. Negatif Kuvvet Kavramı
  5. Adım Adım Hesaplama
  6. Özet Tablosu
  7. Sonuç

1. Problem Tanımı

Elimizde bir küpe ait ayrıt uzunlukları toplamı 8\, cm olarak verilmiştir. Bir küpün eşit uzunlukta 12 ayrıtı vardır.
Soru: Bir ayrıtın uzunluğu bulunduğunda bu uzunluğun $-4$’üncü kuvvetinin değeri nedir?

2. Küpün Temel Özellikleri

Küp geometrik cisim özellikleri:

  • Ayrıt sayısı: 12
  • Tüm ayrıt uzunlukları eşit: Bir tek a değeri
  • Ayrıt uzunlukları toplamı: 12\,a

Bu bilgiler ışığında 12\,a = 8\, cm olmalıdır.

3. Ayrıt Uzunluğunun Hesaplanması

  1. Toplam eşitlik:
    12 \, a = 8
  2. Ayrıt uzunluğu a için:
    a = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\,\text{cm}

Sonuç: Küpün bir ayrıt uzunluğu \dfrac{2}{3} cm’dir.

4. Negatif Kuvvet Kavramı

Matematikte bir sayının negatif kuvveti şu anlama gelir:

  • x^{-n} = \dfrac{1}{x^{n}}
  • Örnek: 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

Bu nedenle elimizdeki a^{-4} ifadesini hesaplamak için:
a^{-4} = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{-4} = \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{4}

5. Adım Adım Hesaplama

  1. Ayrıt uzunluğunu bulduk:
    a = \frac{2}{3}

  2. Negatif dördüncü kuvvet formülü:
    a^{-4} = \frac{1}{a^4}

  3. a^4 hesaplaması:
    \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}

  4. Tersini alarak negatif kuvveti elde etme:
    a^{-4} = \frac{1}{\frac{16}{81}} = \frac{81}{16}

Sonuç:
\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{-4} = \frac{81}{16}

6. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. Toplam eşitlik 12\,a = 8 –
2. Ayrıt uzunluğu a = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} a = \tfrac{2}{3}
3. Pozitif kuvvet \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^4 = \dfrac{16}{81} –
4. Negatif kuvvet \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{-4} = \dfrac{81}{16} =\dfrac{81}{16}

7. Sonuç

Küpün bir ayrıt uzunluğunun $-4$’üncü kuvveti
\displaystyle \boxed{\frac{81}{16}}

Her adımda hem küpün geometrik özelliğini hem de negatif kuvvet kavramını kullandık. Böylece kolayca \tfrac{81}{16} sonucuna ulaştık.

@Ecrin.21