I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!
Bu sorunun cevabı c (26) olabilir mi?
Cevap:
Hayır, bu problemde beklenen doğru cevap 28 (seçenek E) olarak bulunur. Aşağıda adım adım nasıl sonuca ulaşıldığını ve “c = 26”nın neden doğru olmadığını inceleyebilirsiniz.
Problemin Açıklaması
Soruda iki adet dikdörtgen ve eş yolluğumuz (halı, koridor halısı vb.) bulunmaktadır:
- Kırmızı Yolluk: Uzun kenarını 120 cm parçalayacak şekilde dikdörtgenlere ayrılıyor. Kısa kenar 60 cm sabit kalıyor.
- Mavi Yolluk: Uzun kenarını 160 cm parçalayacak şekilde dikdörtgenlere ayrılıyor. Onun da kısa kenarı 60 cm.
Bu kesim işlemleri sonucunda ortaya çıkan dikdörtgen parçalardan:
- Kırmızı yolluktan elde edilen parça sayısı (her bir parça 120 cm × 60 cm).
- Mavi yolluktan elde edilen parça sayısı (her bir parça 160 cm × 60 cm).
Aradaki farkın (kırmızıdan elde edilen parça sayısı eksi maviden elde edilen parça sayısı) 6’dan az olduğu söyleniyor. Bizden istenen, bu yolluklardan birinin kesimden önceki uzun kenarının (L) en fazla kaç metre olabileceğini bulmaktır. Soru genellikle “A) 24, B) 25, C) 26, D) 27, E) 28” şeklinde 5 seçenek sunar.
Adım Adım Çözüm
1. Değişken Tanımlama
-
L: Yolluğumuzun kesimden önceki uzun kenarı (cm cinsinden). Bu uzunluk hem kırmızı yolluk hem de mavi yolluk için aynı kabul edilir (problemde “birinin kesimden önce uzun kenar boyu en fazla kaçtır?” diye soruluyor).
-
Kırmızı yolluk kesim boyutu: 120 cm.
Yani, kırmızı yolluğu 120 cm’lik parçalar hâlinde dikdörtgenlere ayırdığımızda, her parça boyutu “120 cm × 60 cm” olacak. -
Mavi yolluk kesim boyutu: 160 cm.
Mavi yolluğu 160 cm’lik parçalar hâlinde dikdörtgenlere ayırdığımızda, her parça boyutu “160 cm × 60 cm” olacak.
2. Kırmızı Yolluktan Elde Edilen Parça Sayısı
Kırmızı yolluğun uzun kenarı L cm olsun. Her bir kırmızı parça 120 cm uzunluğunda ise, kırmızı yolluktan elde edilen parça sayısı:
Bu ifadenin tam sayı olması, $L$’nin 120’ye tam bölünebilir olduğunu varsaydığımız senaryolarda geçerlidir. Olağan yaklaşım, problemde genellikle uç (maksimum) değeri bulurken L’yi 120 ve 160’ın katları olarak dikkate alırız veya kesirli değer kabul etsek bile büyük tabloyu değiştirmeyecektir.
3. Mavi Yolluktan Elde Edilen Parça Sayısı
Mavi yolluğun uzun kenarı da aynı L olduğundan, her bir mavi parça 160 cm uzunluğundadır ve mavi yolluktan elde edilecek parça sayısı:
4. Parça Sayıları Arasındaki Fark
Problemde belirtildiği üzere, parça sayıları arasındaki fark 6’dan azdır:
Mutlak değeri açalım:
Dolayısıyla,
2880 cm, metre cinsinden 28,8 m yapar. Uzun kenar en fazla tam metre cinsinden kaç olabilir diye sorulduğundan, en büyük tam metre değeri 28 metredir.
5. Seçeneklerin Karşılaştırılması
Seçenekler: A) 24 m, B) 25 m, C) 26 m, D) 27 m, E) 28 m
Yukarıdaki hesaplamaya göre L<28.8 m olduğundan 28 metreden daha küçük (ama 28’e eşit veya daha az) bütün tam değerler uygundur. Maksimum tam sayı değeri 28’dir.
Dolayısıyla cevap, 28 metre (seçenek E).
Soru: “Cevap 26 (seçenek C) olabilir mi?”
Hayır. 26 metre elbette 2880 cm’den küçük, yani farkı 6’dan az koşulunu karşılar; ancak bize “en fazla kaç metredir?” dendiğinden mümkün değerlerin en büyüğünü ararız. 26 metrede fark koşulu sağlansa da 27 ve 28 de sağladığı için maksimumu 28’dir. Sınır 28,8 m olduğu için 28 metreye kadar çıkabiliriz.
Önemli Noktalar
-
Temel Eşitsizlik:
Parça sayıları farkının 6’dan az olması, \frac{L}{480} < 6 eşitsizliğiyle sağlanır. Bu da L<2880 cm sonucunu verir. -
Maksimum Tam Metre:
2880 cm, 28,8 m’ye denk gelir. Tam metre cinsinden 28 m (28 × 100 = 2800 cm) bu koşulu karşılayan en büyük değerdir. -
Seçenek “C = 26 m”
26 m evet, farkın 6’dan küçük olma koşulunu sağlasa da en büyük değer olmadığı için doğru cevap 28 m’dir.
Örnek Değerler Karşılaştırma Tablosu
Aşağıdaki tabloda L değerlerine göre parça sayılarının farkını inceleyebilirsiniz:
| Uzunluk L (m) | L (cm) | Kırmızı Parça Sayısı R = L/120 | Mavi Parça Sayısı B = L/160 | Fark = |R - B| |
|---------------|---------|--------------------------------|-----------------------------|---------------------------|
| 24 | 2400 | 2400/120 = 20 | 2400/160 = 15 | 5 (< 6) |
| 25 | 2500 | 2500/120 ≈ 20.83 | 2500/160 = 15.625 | Yaklaşık 5.205 |
| 26 (C) | 2600 | 2600/120 ≈ 21.66 | 2600/160 = 16.25 | Yaklaşık 5.41 (< 6) |
| 27 | 2700 | 2700/120 = 22.5 | 2700/160 = 16.875 | 5.625 (< 6) |
| 28 (E) | 2800 | 2800/120 ≈ 23.33 | 2800/160 = 17.5 | Yaklaşık 5.83 (< 6) |
| 28,8 | 2880 | 2880/120 = 24 | 2880/160 = 18 | 6 (sınır değer) |
Görüldüğü gibi 28,8 m’ye (2880 cm) yaklaştığımız an, fark tam 6 oluyor. 28 m’de fark hâlâ 6’dan küçüktür ve 28 m “tam metre” olarak en yüksek değerdir.
Sonuç
Yukarıdaki hesaplamalar bize kesimden sonra ortaya çıkan parça sayıları arasındaki farkın 6’dan az kalması için yolluğun uzun kenarı en fazla 28 metre olabileceğini gösterir. Soru her ne kadar 26 metre seçeneğini sunsa bile, “en fazla kaç metre?” dendiğinden doğru cevap E) 28 metre olmalıdır.
Bu nedenle, “Cevap C (26) olabilir mi?” diye sorulduğunda, hayır, en büyük mümkün değer 28 olduğu için doğru yanıt C = 26 değil E = 28 olacaktır.