Merhaba Hacer_Dertsizkul! Gönderdiğiniz sorulardan birkaçını çözerek yardımcı olmaya çalışacağım. İşte sorularınızın adım adım çözümleri:
Soru 1
Yukarıdaki şekilde ABCD ve KLMN kare. |AB| = a birim ve |KL| = b birim olduğuna göre kırmızı boyalı kısmın alanını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- Karelerin alan formülü: Alan = kenar uzunluğu × kenar uzunluğu.
- Büyük kare (ABCD): Alan = a × a = a².
- Küçük kare (KLMN): Alan = b × b = b².
- Kırmızı boyalı kısım = Büyük kare alanı - Küçük kare alanı. Bu nedenle:
$$ a^2 - b^2 $$
Bu ifade aynı zamanda iki kare farkı özdeşliğine göre açılabilir:
$$ (a + b)(a - b) $$
Doğru Cevap: A) (a + b)(a - b)
Soru 3
x^2 = 25 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- x^2 = 25 denkleminde, x için her iki tarafa karekök alabiliriz:
$$ x = \pm 5 $$
Bu, x = 5 veya x = -5 anlamına gelir.
Doğru Cevap: D) (x - 5)(x + 5)
Soru 4
(a - 3b)^2 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu ifade, a^2 - 2ab + b^2 formuyla açılabilir. Adım adım ilerleyelim:
- (a - 3b)^2 ifadesini açalım:
$$ (a - 3b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 $$ - Çarpımı yaparsanız:
$$ a^2 - 6ab + 9b^2 $$
Doğru Cevap: A) a² - 6ab + 9b²
Soru 5
a + b = 5 ve a · b = 3 olduğuna göre a² + b² toplamı kaçtır?
Çözüm:
- Özdeşliği hatırlayalım: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
- Verilenleri yerine koyalım:
- a + b = 5
- a · b = 3
- Özdeşliğe göre:
$$ a^2 + b^2 = 5^2 - 2 \cdot 3 $$
$$ a^2 + b^2 = 25 - 6 = 19 $$
Doğru Cevap: B) 19
Soru 6
a + b = 3 ve a · b = 1 olduğuna göre a² + b² toplamı kaçtır?
Çözüm:
- Özdeşliği yine kullanalım: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
- Verilenleri yerine koyalım:
- a + b = 3
- a · b = 1
- Hesaplayalım:
$$ a^2 + b^2 = 3^2 - 2 \cdot 1 $$
$$ a^2 + b^2 = 9 - 2 = 7 $$
Doğru Cevap: B) 7
Sorular çözülmüş ve detaylı açıklamalar tamamlanmıştır. Eğer başka sorularınız veya zorlandığınız konular varsa, istediğiniz zaman yazabilirsiniz! 
Bu Soruları Çözebilir misin? Test 8 (Sayfa 117) Detaylı Çözümleri
1. Soru Çözümü
Soru:
Yukarıdaki şekilde ABCD ve KLMN kare. |AB| = a br ve |KL| = b br olduğuna göre kırmızı boyalı kısmın alanını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- Büyük karenin bir kenarı a, alanı: a^2
- Küçük karenin bir kenarı b, alanı: b^2
Kırmızı boyalı alan = Büyük karenin alanı - Küçük karenin alanı
a^2-b^2 = (a - b)(a + b)
Doğru cevap:
A) (a + b)(a - b)
2. Soru Çözümü
Soru:
Verilen dik yamuktan iki tane kullanılarak aşağıdaki şekiller elde ediliyor. Bu şekillerin alanları ile aşağıdaki özdeşliklerden hangisi modellenebilir?
Çözüm:
- Dik yamukta kısa taban: (m-n), uzun taban: m, yükseklik: n
- Dik yamuk alanı: \frac{(m + (m-n)) \cdot n}{2} = \frac{(2m-n)n}{2}
Ancak şıklar özdeşliklere göre!
Şekilleri dikdörtgen veya kare biçimine dönüştürünce, iki şeklin birleşimiyle bir m \times m ve bir n \times n kare oluşur.
Bu alanların toplamı:
Ama şıkları inceleyince, \mathbf{A) \ m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)} olduğu şekillenmiş.
Doğru cevap:
A) m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)
3. Soru Çözümü
Soru:
x^2 - 25 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
Şıklarda bu doğrudan var mı bakılır:
- A) (x-5)(x+5) → Bu doğrudur.
Doğru cevap:
A) (x-5)(x+5)
4. Soru Çözümü
Soru:
a^2 - 6ab + 9b^2 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Bu ifade tam kare açılımıdır:
Cevap:
B) (a - 3b)^2
5. Soru Çözümü
Soru:
a+b=5
a \cdot b = 3
a^2 + b^2 toplamı kaçtır?
Kare açılımı:
Bulalım:
- a+b = 5 \rightarrow (a+b)^2 = 25
- a\cdot b = 3 \rightarrow 2ab = 6
Yani:
Doğru cevap:
B) 19
6. Soru Çözümü
Soru:
a+b=3 ve ab=1
a^2 + b^2 toplamı kaçtır?
Yine aynı yöntemi kullanıyoruz:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$$
- a+b = 3 \implies (a+b)^2 = 9
- ab = 1 \implies 2ab = 2
Sonuç:
Doğru cevap:
B) 7
Tüm Soruların Cevap Anahtarı:
- A
- A
- A
- B
- B
- B
Her birinin ayrıntılı çözümü yukarıda verilmiştir. Anlamadığınız veya takıldığınız adım varsa tekrar açıklayabilirim! Başarılar 
1. Soru
Yukarıdaki şekilde ABCD ve KLMN kare.
AB = a br ve KL = b br olduğuna göre kırmızı boyalı kısmın alanını gösteren ifade hangisidir?
Şekil:
- Büyük kare kenar uzunluğu = a
- İçteki küçük kare kenar uzunluğu = b
- Kırmızı bölge = büyük karenin alanı – küçük karenin alanı
Çözüm Adımları:
-
Büyük karenin alanı = a²
-
Küçük karenin alanı = b²
-
Kırmızı bölge alanı = a² – b²
-
a² – b² ifadesi çarpanlara ayrılırsa:
a² – b² = (a – b)(a + b)
Doğru yanıt: (a + b)·(a – b)
2. Soru
Başlangıçta elimizde dik yamuk var:
- Yükseklik = m
- Üst taban = n
- Alt taban = m
İki tane bu dik yamuk kullanılarak elde edilen iki ayrı şeklin alanları toplanıyor. Buna karşılık aşağıdaki özdeşliklerden hangisi bu toplamı modeller?
Önce yamuğun alan formülünü hatırlayalım:
Yamuk alanı = (üst taban + alt taban)·(yükseklik) / 2
Burada = (n + m)·m / 2
İki tane kullanılırsa toplam yamuk alanı = 2·[ (n + m)·m / 2 ] = m·(m + n)
Öte yandan şekiller bir araya getirildiğinde ortaya çıkan toplam bölge, bir dikdörtgenin alanı olarak da yorumlanabiliyor. Gerçekten:
- Bir kenarı = (m – n)
- Diğer kenarı = (m + n)
Böyle bir dikdörtgenin alanı = (m – n)·(m + n) = m² – n²
Dolayısıyla iki yamuk alanı toplamı = m·(m + n), fakat asıl şekil alanı m² – n² biçiminde ifade edilmiş. Görsel yer değiştirmeleriyle “farklar kareleri” modeli çıkıyor:
Doğru özdeşlik: m² – n² = (m – n)(m + n)
Özet Tablo
| Soru No | İstenen Alan / Toplam | Sonuç İfadesi | Doğru Seçenek |
|---|---|---|---|
| 1 | a² – b² | (a + b)(a – b) | C |
| 2 | m² – n² | (m – n)(m + n) | A |
Cevaplar
- C şıkkı
- A şıkkı
Bu soruları çözebilir misin?
Answer:
Aşağıdaki numaralandırma, fotoğraftaki soru sırasına göre yapılmıştır.
- Karelerin Alan Farkı
Yukarıdaki şekil ABCD kare ve KLMN kare olmak üzere:
• Büyük karenin bir kenarı = a
• Küçük karenin bir kenarı = b
Kırmızı (boyalı) bölgenin alanı, büyük karenin alanından (a²) küçük karenin alanı (b²) çıkarılarak bulunur.
Dolayısıyla alan farkı:
Bu nedenle cevap, kareler arasındaki alan farkını temsil eden (a+b)(a-b) olacaktır.
- Dik Yamuk ve Özdeşlik
Dik yamuktan iki tane kullanılarak elde edilen büyük şeklin alanının “iki kare farkı” biçiminde ifade edildiği gösterilmektedir (şekiller birleşince kenar uzunlukları (m-n) ve (m+n) biçiminde oluşur).
Bu nedenle buradaki özdeşlik:
Yani, bir dik yamuk ve onun eşini uygun şekilde birleştirince “iki kare farkı” formülü modellenmiş olur.
- 4x² - 25 İfadesinin Özdeşliği
Burada “iki kare farkı” formülü kullanılır:
- a² - 3ab + b² İfadesinin Özdeşliği
Bu ifade, tam kare ya da kolay bir çarpanlara ayırma biçiminde ayrılmıyor. Ancak şu şekilde yeniden yazılabilir:
(direkt çarpanlara ayrılamadığı için bu şekilde yorumlanabilir).
Soruda “hangi özdeşliği ifade eder?” diye soruluyorsa, seçeneklerde büyük olasılıkla ya hiç çarpanlara ayrılamadığı, ya da “(a - b)² - ab” biçiminde gösterildiği belirtilmiş olabilir.
- a + b = 5 ve a·b = 3 İse (a² + b²) Kaçtır?
(a + b)² = a² + 2ab + b² eşitliğini kullanırsak:
• (a + b)² = 5² = 25
• 25 = a² + 2ab + b²
• 25 = a² + 2(3) + b² = a² + b² + 6
Dolayısıyla
- a + b = 3 ve a·b = 1 İse (a² + b²) Kaçtır?
Benzer yöntemle:
• (a + b)² = 3² = 9
• 9 = a² + 2ab + b² = a² + 2(1) + b² = a² + b² + 2
Dolayısıyla