Resimli Soru: Kırmızı Bölgenin Alanını Veren Özdeşlik
Önemli Noktalar
- Kare ve iki dikdörtgenin ölçüleri verildi: Dikdörtgenlerin ölçüleri 5 x 2a, karenin ölçüsü ise 2a x 2a’dır.
- İki dikdörtgen kare üzerine üst üste yapıştırıldığında oluşan kırmızı alanın büyüklüğü hesaplanacak.
- Kırmızı alan, karenin alanından dikdörtgenlerin toplam alanı çıkarılarak bulunur.
İçindekiler
Şekil Ölçüleri ve Alanlar
Verilen şekiller:
- Dikdörtgenler: Her biri 5 birim uzunluk ve 2a birim genişlik
- Kare: Kenar uzunluğu 2a
Alanlar:
- Dikdörtgen alanı = 5 × 2a = 10a (Her biri)
- İki dikdörtgenin toplam alanı = 2 × 10a = 20a
- Karenin alanı = 2a × 2a = 4a²
Alan Hesabı ve Özdeşlik
Yapıştırıldığında kırmızı bölge, karenin alanından iki dikdörtgenin üst üste kalan alanları çıkarılır.
Kırmızı alan = Karenin alanı - İki dikdörtgenin üst üste düşen alanı
Üst üste yapılan dikdörtgen alanları toplamı doğrudan 20a değil, üst üste düşen kısmı göz önüne alınmalı.
Yukarıdaki şekilde kırmızı alan:
Kırmızı Alan = 4a² - 10a
Özdeşlik olarak:
4a² - 10a = kırmızı alan
Özet Tablo
| Eleman | Değer |
|---|---|
| Dikdörtgen Alanı (1 adet) | 10a |
| İki Dikdörtgen Toplam Alanı | 20a |
| Karenin Alanı | 4a² |
| Kalan Kırmızı Alan | 4a² - 10a |
Sık Sorulan Sorular
1. Kırmızı alan neden karenin alanından çıkarılıyor?
Kırmızı alan, karenin üzerinde dikdörtgenlerin yapıştırılması sonucunda geriye kalan boş alanı temsil eder. Bu nedenle, kırmızı alan = karenin alanı - kaplanan (dikdörtgenlerin) alanlar.
2. Neden dikdörtgenlerin toplam alanı 20a değil de 10a çıkarıldı?
Yapıştırma sırasında dikdörtgenler üst üste konduğu için toplam kaplama alanı dikdörtgenlerin alanlarının toplamından daha azdır. Soruda belirtilen şekilde kırmızı alan, karenin alanından sadece bir dikdörtgen alanının çıkarılmasıdır.
3. a’nın birim uzunluğu nedir?
a bilinmeyen bir değişken olarak kalır; verilen bilgilerle kırmızı alan formülü olarak ifade edilir.
Sonraki Adımlar
Kırmızı alanın farklı a değerleri için nasıl değiştiğini görmek ister misiniz? Ya da bu tür sorular için genel alan çıkarma tekniklerini detaylandırayım mı?
Bu soruda kare ve iki dikdörtgen üst üste yapıştırıldığında kalan kırmızı bölgenin alanını veren özdeşlik nedir?
Anahtar Noktalar
- Kare kenar uzunluğu: 2a → Alan = $$(2a)^2=4a^2$$
- Dikdörtgen ölçüleri: 5\times2a, iki parça
- Dikdörtgenler, karenin bir kenarına tam oturacak şekilde üst üste yapıştırıldığında, karenin içindeki kırmızı bölge bir (2a-5)\times(2a-5) kare olur
Direkt Cevap
Kırmızı bölge, karenin üzerinde kalan içi boş bir kenar uzunluğu 2a-5 olan kareye eşittir. Dolayısıyla
İçindekiler
1. Derinlemesine Çözüm
- Kare: kenarı 2a, alanı 4a^2.
- Dikdörtgenler: her biri 5\times2a; bir tanesi dikey şerit (sağa yapıştırılır), diğeri yatay şerit (aşağıya yapıştırılır).
- Dikey şerit, karenin sağ kenarından içeri doğru genişliği 5 kadar örter → karenin sağındaki 5\times2a alan kaplanır.
- Yatay şerit, karenin alt kenarından yukarı doğru yüksekliği 5 kadar örter → karenin altındaki 2a\times5 alan kaplanır.
- Bu ikisinin birleşimiyle karenin içindeki örtülen bölge, bir dikey ve bir yatay şeridin birleşimi; kırmızı kalan ise karenin sol üst köşesinde, boyu (2a-5) kalan bir kare.
- Kırmızı alan = (2a-5)^2.
2. Özet Tablosu
| Şekil | Boyutlar | Örtülen Alan | Kalan Kırmızı Alan |
|---|---|---|---|
| Kare | 2a\times2a | — | — |
| Dikdörtgen (dikey) | 5\times2a | Sağdan örtülen: 5\cdot2a | — |
| Dikdörtgen (yatay) | 2a\times5 | Alttan örtülen: 2a\cdot5 | — |
| Kalan Kırmızı | (2a-5)\times(2a-5) | — | \,(2a-5)^2=4a^2-20a+25 |
3. SSS
S1. “Dikdörtgenleri yapıştırmak için kenar hizalamaları nasıl yapılır?”
C1. Uzun kenarı (2a) karenin eşit kenarı boyunca hizalayarak örtme sağlanır.
S2. “$2a<5$ olursa kırmızı bölge tanımsız mı olur?”
C2. Evet, 2a<5 durumunda örtü tüm kareyi kaplar veya taşar; sorunun geçerlilik bölgesi $2a\ge5$’tir.
S3. “Genel formül nasıl türetilir?”
C3. Kare alanından örtülen dikdörtgen şeritleri çıkarılır:
Çözümü anladınız mı? Başka bir örnekte pratik yapmak ister misiniz, Eşref_Damar?