Birim Kareli Zeminde \sin x \cdot \cos x Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- Tanjant: \tan x = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
- Pisagor Teoremi: \text{Hipotenüs} = \sqrt{(\text{Karşı})^2 + (\text{Komşu})^2}
- Sinüs: \sin x = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
- Kosinüs: \cos x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şeklin Boyutlarını ve Doğrunun Eğimini Belirleme
- Verilen ızgara (grid) sistemi incelendiğinde şekil yatayda 5 birim kare, düşeyde 4 birim kare genişliğindedir.
- Kırmızı doğru parçası, sol üst köşeden başlayıp sağ alt köşeye kadar kesintisiz uzanmaktadır.
- Bu doğrunun yataydaki toplam yer değiştirmesi \Delta x = 5 birim, düşeydeki toplam yer değiştirmesi \Delta y = 4 birimdir.
Adım 2 — x Açısının Trigonometrik Oranını (\tan x) Bulma
- ABC üçgeninde [AC] yatay, [BC] ise düşey doğru üzerindedir. Dolayısıyla m(\widehat{ACB}) = 90^\circ olan bir dik üçgendir.
- x = m(\widehat{ABC}) açısı, kırmızı doğrunun düşey eksen ile yaptığı açıdır.
- Doğru üzerindeki tüm benzer dik üçgenlerde yatay/düşey oranı sabittir:
\tan x = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\text{Yatay Uzunluk}}{\text{Düşey Uzunluk}} = \frac{5}{4}
Adım 3 — \sin x ve \cos x Değerlerini Hesaplama
- Karşı dik kenarı 5, komşu dik kenarı 4 birim olan bir dik üçgende Pisagor bağıntısı ile hipotenüsü bulalım:
\text{Hipotenüs} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}
- Bu dik üçgenden trigonometrik oranları yazalım:
\sin x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{\sqrt{41}}
\cos x = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4}{\sqrt{41}}
Adım 4 — \sin x \cdot \cos x Çarpımını Hesaplama
\sin x \cdot \cos x = \frac{5}{\sqrt{41}} \cdot \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{5 \cdot 4}{(\sqrt{41})^2} = \frac{20}{41}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{\dfrac{20}{41}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Birim Karede Açı Taşıma ve Eğim İlişkisi
- Tanım: Bir doğrunun yatay veya düşey eksenle yaptığı açı, doğrunun her noktasında aynı eğim oranına sahiptir.
- Bu problemde: B noktasının tam bir ızgara köşesinde olmasına gerek kalmadan, doğrunun uç noktaları arasındaki toplam yatay (5) ve düşey (4) uzunluklar kullanılarak \tan x = \frac{5}{4} oranı doğrudan bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
3-4-5 Özel Üçgeni Yanılgısı
- Yanlış: Yatay kenarı 4 veya düşey kenarı 3 sayıp hipotenüse doğrudan 5 yazmak.
- Doğru: Şekildeki kareler tek tek sayıldığında yatay uzunluğun 5 birim, düşey uzunluğun 4 birim olduğu görülür; hipotenüs \sqrt{41} olur.
- Neden yanlış: Şekil göz kararıyla 3-4-5 üçgenine benzetilse bile birim karelerin sayısı dikkatlice sayılmalıdır.
Bu çözümle ilgili aklına takılan bir adım var mı, yoksa benzer bir trigonometri sorusuyla pekiştirmek ister misin?