x doğal sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali
x = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{n}^{a_{n}}
olsun ve
Bu durumda, x ile arasında asal ve x 'ten küçük olan doğal sayıların adedi phi(x) değerine eşittir.
Buna göre, en fazla üç basamaklı ve 40 ile en az iki tane ortak pozitif tam böleni olan kaç tane tam sayı vardır?
A) 599
B) 600
C) 1198
D) 1199
Euler \phi Fonksiyonu ve Tam Sayılarda Bölünebilme Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: x sayısının asal çarpanları p_1, p_2, \dots, p_n olmak üzere, x ile aralarında asal ve x’ten küçük pozitif tam sayı adedi Euler \phi (totient) fonksiyonu ile \phi(x) = x \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{p_n}\right) şeklinde hesaplanır. İki sayının en az iki ortak pozitif böleni olması, \text{EBOB} > 1 olması anlamına gelir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Şartın Matematiksel Olarak Yorumlanması
1 sayısı bütün tam sayıların ortak bölenidir. Dolayısıyla 40 ile bir n tam sayısının “en az iki tane ortak pozitif tam böleni” olması, 1’den başka en az bir ortak bölenlerinin daha bulunması, yani \text{EBOB}(n, 40) > 1 olması demektir.
40 = 2^3 \cdot 5^1 olduğundan, bu durum n sayısının 2 veya 5 ile tam bölünebilmesi (aralarında asal olmaması) anlamına gelir.
Adım 2 — Pozitif Tam Sayıların Hesaplanması (1 \le n \le 999)
En fazla üç basamaklı pozitif tam sayılar 1’den 999’a kadardır. Kümelerin birleşim kuralı ile 2 veya 5’e bölünen sayı adedi:
s(2 \cup 5) = \left\lfloor \frac{999}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{999}{10} \right\rfloor
s(2 \cup 5) = 499 + 199 - 99 = 599 \text{ adet}
Adım 3 — Negatif Tam Sayılar ve Sıfırın Dahil Edilmesi
Soru kökünde “doğal sayı” değil, genel olarak “tam sayı” ifadesi kullanılmıştır. “En fazla üç basamaklı tam sayılar” aralığı -999 \le n \le 999 aralığıdır:
- Pozitif tam sayılar (1 \le n \le 999): 599 adet
- Negatif tam sayılar (-999 \le n \le -1): Pozitiflerdeki her n için -n de 2 veya 5’e bölüneceğinden 599 adet
- Sıfır (n = 0): 0, bir basamaklı bir tam sayıdır. 0’ın pozitif bölenleri tüm pozitif tam sayılardır. Dolayısıyla 0 ile 40’ın ortak bölenleri 40’ın tüm pozitif bölenleridir (8 tane olup en az 2 şartını sağlar): 1 adet
Toplam tam sayı adedi:
\text{Toplam} = 599 + 599 + 1 = 1199
CEVAP: D) 1199
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda “pozitif tam sayı” değil “tam sayı” dendiğinde negatif tam sayıları ve 0’ı unutmamak en kritik çeldiricidir. Yalnızca pozitifleri alanlar 599 (A), 0’ı unutanlar ise 1198 (C) çeldiricisine düşer.