- Bir okulun kütüphane yazılımı, her öğrenciyi o öğrencinin
aynı anda ödūnç aldığı kitap sayısı ile eşleştirerek bir kayıt
oluşturmaktadır. Bu sistemde her öğrenci için yalnız bir
kayıt oluşturuimaktadır.
Aşağıdaki durumlardan hangisi gerçekleşirse bu
sistem fonksiyon özelliğini kaybeder?
A) Bir öğrencinin aynı anda birden fazla farklı kitap sayısı
ile eşleştiilmesi
Bazı öğrencilerin aynı sayıda kitap almasI
C) Aynı kitap sayısının birden fazla öğrenciye ait olması
D) Bazı öğrencilerin o kitap alması
E) Her öğrencinin farklı sayida kitap alması
Kütüphane Kayıt Sisteminin Fonksiyon Olma Özelliği
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Bu problemde kütüphane sistemi bir bağıntı tanımlamaktadır:
- Tanım Kümesi (A): Okuldaki öğrenciler
- Değer Kümesi (B): Ödünç alınan kitap sayıları (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\})
Bir f: A \to B bağıntısının fonksiyon olabilmesi için iki temel kural vardır:
- Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir (Her öğrencinin bir kaydı olmalıdır).
- Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinden yalnızca bir elemanla eşleşmelidir (Bir öğrenci aynı anda yalnızca tek bir kitap sayısına sahip olabilir).
Adım 1 — A Seçeneğinin Analizi
- Bir öğrencinin aynı anda birden fazla farklı kitap sayısı ile eşleşmesi, tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesindeki birden fazla elemana gitmesi (f(x) = y_1 ve f(x) = y_2 iken y_1 \neq y_2) anlamına gelir. Bu durum fonksiyon olma kuralını doğrudan bozar.
Adım 2 — B Seçeneğinin Analizi
- Farklı öğrencilerin aynı sayıda kitap alması (f(x_1) = f(x_2) = k), tanım kümesindeki iki farklı elemanın aynı değere gitmesidir. Bu durum fonksiyon tanımına tamamen uygundur (fonksiyonun bire bir olmasını engeller ancak fonksiyon olma özelliğini bozmaz).
Adım 3 — C Seçeneğinin Analizi
- Aynı kitap sayısının birden fazla öğrenciye ait olması, B seçeneği ile aynı durumu ifade eder. Değer kümesindeki bir elemana birden fazla okun gelmesi fonksiyon şartını ihlal etmez.
Adım 4 — D Seçeneğinin Analizi
- 0 sayısı bir doğal sayıdır ve değer kümesinde yer alır. Bir öğrencinin hiç kitap almamış olması (f(x) = 0) geçerli bir eşleşmedir ve fonksiyon özelliğini bozmaz.
Adım 5 — E Seçeneğinin Analizi
- Her öğrencinin farklı sayıda kitap alması fonksiyonun bire bir (injective) olduğunu gösterir. Bu durum fonksiyon özelliğini bozmaz, aksine özel bir fonksiyon türü oluşturur.
Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
A. Bir öğrencinin aynı anda birden fazla farklı kitap sayısı ile eşleştirilmesi — Tanım kümesindeki bir eleman yalnız bir görüntüye sahip olmalıdır kuralını ihlal ettiği için sistem fonksiyon özelliğini kaybeder.
B. Bazı öğrencilerin aynı sayıda kitap alması — Fonksiyon olma şartını bozmaz (sabit veya çoktan-bire eşleşme).- C. Aynı kitap sayısının birden fazla öğrenciye ait olması — Fonksiyon olma şartını bozmaz.
- D. Bazı öğrencilerin 0 kitap alması — Fonksiyon olma şartını bozmaz (0 geçerli bir çıktıdır).
- E. Her öğrencinin farklı sayıda kitap alması — Fonksiyon olma şartını bozmaz (bire bir fonksiyondur).
Adım 7 — Son Doğrulama
Fonksiyonun temel tanımı gereği tanım kümesindeki bir girdinin birden fazla çıktısı olamaz. Dolayısıyla bir öğrenci aynı anda hem 2 hem 5 kitap almış gibi gösterilirse bağıntı fonksiyon olmaktan çıkar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (Bir öğrencinin aynı anda birden fazla farklı kitap sayısı ile eşleştirilmesi)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Fonksiyon kavramı ve tanım kümesi kurallarını daha iyi pekiştirmek için benzer bir günlük hayat modellemesi sorusu çözmemi ister misin?