Bu siralamalarda a yerine yazılabilecek en küçük sayı için b ve c harfleri yerine
yazilacak en küçük sayıların toplamı kaçtır?
(A) 58
(C) 87
Kesirlerde Sıralama ve Eşitsizlik Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Paydaları eşit olan pozitif kesirlerde payı büyük olan kesir daha büyüktür:
\frac{x}{k} < \frac{y}{k} \iff x < y \quad (k > 0)
- Kesirleri karşılaştırmak için paydalar en küçük ortak katta (EKOK) eşitlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Değerinin Belirlenmesi
İlk sıralamada paydaları eşitlemek için \frac{4}{5} kesrini 4 ile genişletelim:
\frac{4 \times 4}{5 \times 4} < \frac{a}{20} < \frac{21}{20} \implies \frac{16}{20} < \frac{a}{20} < \frac{21}{20}
Buradan eşitsizlik:
16 < a < 21
a yerine yazılabilecek en küçük tam sayı değeri:
a = 17
Adım 2 — İkinci Sıralamada Paydaların Eşitlenmesi
İkinci eşitsizlikte a = 17 değerini yerine yazalım:
\frac{17}{5} < \frac{b}{15} < \frac{c}{3}
Paydaları 15’te eşitlemek için kesirleri sırasıyla 3 ve 5 ile genişletelim:
\frac{17 \times 3}{15} < \frac{b}{15} < \frac{c \times 5}{15} \implies \frac{51}{15} < \frac{b}{15} < \frac{5c}{15}
Paylar arasındaki ilişki:
51 < b < 5c
Adım 3 — b ve c Değerlerinin En Küçük Değerlerinin Bulunması
- b > 51 şartını sağlayan en küçük tam sayı:
b = 52
- 5c > b olduğuna göre:
5c > 52 \implies c > 10{,}4
c yerine yazılabilecek en küçük tam sayı:
c = 11
Adım 4 — İstenen Toplamın Hesaplanması
b + c = 52 + 11 = 63
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — 63
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Genişletme: Bir kesrin pay ve paydasını aynı pozitif tam sayı ile çarparak denk kesir elde etme yöntemidir; sıralama yaparken paydaları eşitlemeyi sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: a için en küçük değeri 16 almak (16 < a olduğu için 16 dahil değildir).- Doğru Yaklaşım: Kesin küçüktür (<) sembolü kullanıldığından a en az 17 seçilmelidir.
Benzer bir kesir sıralaması sorusuyla pekiştirme yapmak ister misin?