- Pózitif bir tam sayinın asal bölenlerinin toplamı da asal ise
bu sayıya toplam asal sayı denir.
Ornek: 18 sayısınin asal bölenleri 2 ve 3’tür.
2+3= 5 asal olduğundan 18 toplam asal sayıdır.
Aşağıda verilen,
(A 45%
eşitiigínde A toplam asal olduğuna göre, x;
I. 99
IlL 385
sayilarından hangileri olabilir?
A) Yalnız
B) Yalnız Il
D) Il ve lll
c) I ve Il
E)I, Il ve ll
A = 45 · x eşitliğinde A’nın “toplam asal sayı” olması için x’in alabileceği değerler
KULLANILAN TANIM: Bir pozitif tam sayının asal bölenlerinin toplamı da asal sayı ise, bu sayıya toplam asal sayı denir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A sayısının asal çarpanlarını ve asal bölenlerinin toplamını belirleyelim
Verilen eşitlik A = 45 \cdot x.
Öncelikle 45 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
45 = 3^2 \cdot 5
Buna göre A sayısının asal çarpanları 3, 5 ve x’in asal çarpanlarından oluşacaktır. A’nın asal bölenlerinin toplamının asal sayı olması gerekmektedir.
Adım 2 — x için verilen I. 50 seçeneğini değerlendirelim
Eğer x = 50 ise,
A = 45 \cdot 50
A = (3^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5^2)
A = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^3
A’nın asal bölenleri: 2, 3, 5.
Asal bölenlerinin toplamı: 2 + 3 + 5 = 10.
10 sayısı asal değildir (çünkü 2 ve 5’e bölünür).
Bu nedenle, x = 50 olamaz.
Adım 3 — x için verilen II. 99 seçeneğini değerlendirelim
Eğer x = 99 ise,
A = 45 \cdot 99
A = (3^2 \cdot 5) \cdot (3^2 \cdot 11)
A = 3^4 \cdot 5 \cdot 11
A’nın asal bölenleri: 3, 5, 11.
Asal bölenlerinin toplamı: 3 + 5 + 11 = 19.
19 sayısı asal bir sayıdır.
Bu nedenle, x = 99 olabilir.
Adım 4 — x için verilen III. 385 seçeneğini değerlendirelim
Eğer x = 385 ise,
Öncelikle 385 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
385 = 5 \cdot 7 \cdot 11
Şimdi A’yı hesaplayalım:
A = 45 \cdot 385
A = (3^2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7 \cdot 11)
A = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11
A’nın asal bölenleri: 3, 5, 7, 11.
Asal bölenlerinin toplamı: 3 + 5 + 7 + 11 = 26.
26 sayısı asal değildir (çünkü 2 ve 13’e bölünür).
Bu nedenle, x = 385 olamaz.
Adım 5 — Seçenekleri karşılaştıralım
A. Yalnız I — Yanlış, I (50) olamaz.
B. Yalnız II — Doğru, çünkü II (99) toplam asal sayı koşulunu sağlamaktadır.
C. I ve II — Yanlış, I olamaz.
D. II ve III — Yanlış, III olamaz.
E. I, II ve III — Yanlış, I ve III olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Bölen
- Tanım: Bir sayının tam bölünebildiği asal sayılara asal bölen denir. Örneğin, 18’in asal bölenleri 2 ve 3’tür.
- Bu problemde: A sayısının asal çarpanlarını bulurken asal bölenlerini tespit ettik.
2. Asal Sayı
- Tanım: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük pozitif tam sayılara asal sayı denir. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …)
- Bu problemde: Hem x’in asal çarpanlarını bulmak için hem de asal bölenlerinin toplamının asal olup olmadığını kontrol etmek için asal sayı tanımını kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal Bölenleri Yanlış Belirlemek
- Yanlış: Bir sayının tüm çarpanlarını asal bölen olarak kabul etmek. Örneğin, 18’in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9, 18’dir. Asal bölenleri sadece 2 ve 3’tür.
- Doğru: Sadece asal olan çarpanları seçmek. Bunun için sayıyı asal çarpanlarına ayırmak en kolay yoldur.
- Neden yanlış: Tanımın gerektirdiği “asal bölenler” yerine tüm bölenleri hesaba katmak yanlış sonuca götürür.
Bu konuyu pekiştirmek için A = 70 \cdot x eşitliğinde A’nın “toplam asal sayı” olması için x hangi değerleri alabilir? (Örn: x=3, x=13)