Bakteri Sayıları Oranı Probleminin Çözümü
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Üslü Sayılarda Çarpma: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Üssün Üssü: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
- Üslü Sayılarda Bölme: \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
- Kat Artışı Mantığı: Bir miktar k kat artarsa yeni miktar 1 + k katına (yani kendisi + artış) çıkar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kırmızı Tüpteki Değişim Oranını Belirleme
- Kırmızı tüpteki bakteri sayısı her dakikada 3 kat artmaktadır.
- Bir büyüklük 3 kat artarsa: \text{Yeni Miktar} = x + 3x = 4x olur.
- Yani kırmızı tüpteki bakteri sayısı her dakikada 4 katına (2^2 katına) çıkmaktadır.
Adım 2 — 5 Dakika Sonunda Kırmızı Tüpteki Bakteri Sayısını Hesaplama
- Başlangıçtaki bakteri sayısı: 2^4
- 5 dakika sonundaki bakteri sayısı:
K = 2^4 \cdot (4)^5 = 2^4 \cdot (2^2)^5 = 2^4 \cdot 2^{10} = 2^{4+10} = 2^{14}
Adım 3 — 5 Dakika Sonunda Mavi Tüpteki Bakteri Sayısını Hesaplama
- Mavi tüpteki bakteri sayısı her dakikada 2 katına çıkmaktadır.
- Başlangıçtaki bakteri sayısı: 2^8
- 5 dakika sonundaki bakteri sayısı:
M = 2^8 \cdot 2^5 = 2^{8+5} = 2^{13}
Adım 4 — Kırmızı Tüpün Mavi Tüpe Oranını Bulma
- Bulunan değerleri oranlayalım:
\text{Oran} = \frac{K}{M} = \frac{2^{14}}{2^{13}} = 2^{14-13} = 2^1 = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kat Artışı ve Katına Çıkma Farkı
- Tanım: “k katına çıkmak” doğrudan k ile çarpmayı (x \cdot k), “k kat artmak” ise mevcut değere k katını eklemeyi (x + kx = x(k+1)) ifade eder.
- Bu problemde: Kırmızı tüpteki “3 kat artış”, bakterilerin her dakikada 1+3 = 4 katına (2^2) çıkması anlamına gelmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Kat Artmak” ile “Katına Çıkmak” İfadelerini Karıştırmak
- Yanlış: Kırmızı tüp için her dakika 3 ile çarparak 2^4 \cdot 3^5 yazmak.
- Doğru: “3 kat artmak” ifadesinden dolayı her dakika 4 (2^2) ile çarparak 2^4 \cdot 4^5 yazmak.
- Neden yanlış: Problem metninde kırmızı tüp için “3 kat artmakta”, mavi tüp için ise “2 katına çıkmaktadır” denilerek bu iki kavram özellikle ayırt edilmiştir.
Bu soru tipinde üslü sayılarla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?