Bu noktaların oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı 8 5 birimkare olduğuna göre küpün hacmi kaç birimküp'tür?

DGS
1

Bu

noktaların oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı 8 \sqrt{5} birimkare olduğuna göre küpün hacmi kaç birimküp'tür?

A) 27
B) 45
C) 64
D) 125
E) 216

Soru Görseli
Soru Görseli921×800 63.5 KB

2

ABCD Dörtgeninin Alanından Küpün Hacmini Hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Dikdörtgenin Alanı: A = \text{Taban} \times \text{Yükseklik}
  2. Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
  3. Küpün Hacmi: V = a^3 (Burada a küpün bir ayrıt uzunluğudur).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Küpün Ayrıtlarını ve Noktaları Tanımlama
Küpün bir ayrıt uzunluğuna 2x diyelim (orta noktalarla işlem yaparken kolaylık sağlar). Görsele göre A ve B noktaları küpün taban ayrıtının uç noktalarıdır, yani |AB| = 2x birimdir. C ve D noktaları ise üst arka ayrıtın orta noktalarıdır. Dolayısıyla |CD| = 2x birimdir.

Adım 2 — ABCD Dörtgeninin Şeklini ve Kenarlarını Belirleme
AB ve CD birbirine paralel ve eşit uzunlukta (2x) olduğu için ABCD bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin alanını bulmak için yan kenar uzunluğunu (|AD| veya |BC|) hesaplamalıyız.

Step 3 — Yan Kenar Uzunluğunu (|BC|) Hesaplama
BC kenarı küpün içinde eğik bir doğrudur. Bu uzunluğu bulmak için bir dik üçgen oluşturalım:

  • Küpün dikey ayrıtı (yükseklik): 2x
  • Küpün yan yüzeyindeki derinlik (tabandan arkaya): x (Çünkü C noktası üst ayrıtın orta noktasıdır).
  • Pisagor bağıntısını uygularsak: |BC|^2 = (2x)^2 + x^2
  • |BC|^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2
  • |BC| = x\sqrt{5} birim.

Adım 4 — Alan Denkleminden x Değerini Bulma
Dikdörtgenin alanı Alan(ABCD) = |AB| \times |BC| formülü ile bulunur.

  • 8\sqrt{5} = 2x \times x\sqrt{5}
  • 8\sqrt{5} = 2x^2\sqrt{5}
  • \sqrt{5}'ler sadeleşir: 8 = 2x^2
  • x^2 = 4 ise x = 2 bulunur.

Adım 5 — Küpün Hacmini Hesaplama
Küpün bir ayrıtına başlangıçta 2x demiştik.

  • Bir ayrıt (a): 2 \times 2 = 4 birim.
  • Hacim (V): a^3 = 4^3
  • V = 64 birimküp.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 64
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Orta Nokta Özelliği

  • Tanım: Bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölen noktadır.
  • Bu problemde: C ve D noktaları ayrıtın tam ortasında olduğu için dik üçgenin bir kenarını ayrıtın yarısı (x) olarak aldık.

2. Üç Boyutlu Cisimlerde Pisagor

  • Tanım: Bir cismin yüzeyinden veya içinden geçen eğik doğruların uzunluğunu bulmak için kullanılır.
  • Bu problemde: Dikdörtgenin yan kenarını bulmak için küpün yüksekliği ile derinliğini kullandık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Kenar Seçimi

  • Yanlış: |BC| uzunluğunu direkt küpün bir ayrıtına (2x) eşit sanmak.
  • Doğru: |BC| bir hipotenüstür ve Pisagor ile hesaplanmalıdır.
  • Neden Yanlış: Şekil küpün içinde çapraz durduğu için kenar uzunluğu ayrıttan daha büyüktür.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir katı cisim sorusu çözmemi ister misin?