Bu kutudan rastgele alınan bir kalemin mavi kalem olma olasılığı en fazla kaçtır?

YKS TYT
1

17698506964646332639937517597053
17698506964646332639937517597053720×960 29.6 KB

2

Resimdeki Olasılık Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • İlk kutularda kalem sayıları:
      1. kutu: 8 kırmızı, x mavi
      1. kutu: 4 kırmızı, 6 mavi
  • Kutular boşaltılıp karıştırıldıktan sonra bir kutudan rastgele kalem çekiliyor
  • Kırmızı kalem olasılığı, mavi kalem olasılığından daha fazla
  • Amaç: Seçilen kutudan mavi kalem olma olasılığı en fazla kaçtır?

İlk olarak, ikinci kutudaki kalem sayısını ve oranları kullanarak başlıyoruz. Kutular boşaltılıp birleşince toplam kalem sayısı ve renk oranları değişir. Soruda, kırmızı kalem olasılığı mavi kalem olasılığından fazla deniyor. Bu bilgiye göre, birinci kutudaki mavi kalem sayısı x için bir sınır belirlememiz lazım.

İçindekiler

  1. Problemin Anlaşılması ve Veriler
  2. Olasılıkların Kurulması
  3. En Fazla Mavi Kalem Olasılığı Hesabı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Problemin Anlaşılması ve Veriler

İki kutuda kalemler var:

Kutular Kırmızı Kalem Mavi Kalem
1. Kutu 8 x
2. Kutu 4 6

İlk adım olarak, kutular boşaltılıyor ve kalemler karışıyor. Ardından bu karışımdan rastgele alınan kalemin kırmızı olma olasılığı, mavi olma olasılığından fazla olacak.

Yani:

P(kırmızı) > P(mavi)

Bu duruma göre x değeri belirlenecek.

2. Olasılıkların Kurulması

Toplam kırmızı kalem sayısı:

8 + 4 = 12

Toplam mavi kalem sayısı:

x + 6

Toplam kalem sayısı:

12 + x + 6 = 18 + x

Kırmızı kalem olasılığı:

P(kırmızı) = \frac{12}{18 + x}

Mavi kalem olasılığı:

P(mavi) = \frac{x + 6}{18 + x}

Şimdi P(kırmızı) > P(mavi) şartını yazalım:

\frac{12}{18 + x} > \frac{x + 6}{18 + x}

Paydalar aynı olduğundan:

12 > x + 6

Bunu çözelim:

12 - 6 > x \Rightarrow 6 > x \Rightarrow x < 6

Yani x, 6’dan küçük bir tam sayı olmalı.

3. En Fazla Mavi Kalem Olasılığı Hesabı

Birinci kutudan rastgele alınan bir kalemin mavi olma olasılığını buluyoruz.

Birinci kutudaki kalemlerin toplamı:

8 + x

Birinci kutudan alınan kalemin mavi olma olasılığı:

P_1(mavi) = \frac{x}{8 + x}

İkinci kutudan alınan bir kalemin mavi olma olasılığı:

P_2(mavi) = \frac{6}{4 + 6} = \frac{6}{10} = 0.6

Soruda “Buna göre bu kutudan rastgele alınan bir kalemin mavi kalem olma olasılığı en fazla kaçtır?” denmiş. Bu, olasılığı en yüksek olan kutudan alınan kalemin mavi olma olasılığıdır.

  • Eğer P_1(mavi) > 0.6 olursa, mavi kalem olasılığı birinci kutudan alınanlarda daha fazladır.
  • Aksi halde 0.6 olur.

Şimdi P_1(mavi) > 0.6 için x değerini bulalım:

\frac{x}{8 + x} > 0.6

Çarpalım:

x > 0.6(8 + x) \Rightarrow x > 4.8 + 0.6x
x - 0.6x > 4.8 \Rightarrow 0.4x > 4.8 \Rightarrow x > 12

Ama önceden bulduğumuz kısıt x < 6. Bu nedenle x > 12 olması mümkün değil.

Sonuç olarak, P_1(mavi) < 0.6.

Yani en fazla mavi kalem olasılığı ikinci kutunun mavi kalem olasılığıdır:

\frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6

Seçeneklerde bu değer yok. En yakını seçenek A: \frac{1}{2} = 0.5 ve B: \frac{11}{24} \approx 0.458 .

Burada sorunun ifadesinde, kutulardan birinde rastgele kalem seçileceği belirtilmiş ama bu kutunun seçilme olasılığı veya diğer bilgiler net değil.

Soru kesin olarak şöyle diyor: “Bu kalemlerin tamamı boş olan bir kutuya atıldıktan sonra bu kutudan rastgele çekilen kalemin kırmızı olma olasılığı, mavi olma olasılığından fazladır.”

Yani tüm kalemler bir kutuda, sonra buradan çekiliyor.

Başka bir bakış açısıyla:

Toplam kalemler:

  • Kırmızı: 12
  • Mavi: x + 6

Kırmızı > Mavi ise:

12 > x + 6 \Rightarrow x < 6

Kalıyor.

Mavi olma olasılığı:

\frac{x + 6}{18 + x}

Bunu maksimize etmek için x maksimum olmalı, yani x = 5.

Hesaplayalım:

P_{mavi} = \frac{5 + 6}{18 + 5} = \frac{11}{23} \approx 0.478

Bu seçenek C ve D’deyken \frac{11}{23} D seçeneğindedir.

Buna göre, sorunun doğru cevabı D şıkkıdır: \frac{11}{23} .

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç / Eşitlik
1 Kırmızı > Mavi denklemi 12 > x + 6 → x<6
2 Mavi olasılığını maksimize et x = 5
3 Mavi olma olasılığı \frac{11}{23}
4 Sonuç Seçenek D: \frac{11}{23}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden x’in 6’dan küçük olması gerekiyor?
Çünkü toplam kırmızı kalem sayısının, mavi kalem sayısından büyük olması gerekiyor. Bu kısıt doğrudan problem şartlarından geliyor.

2. Mavi kalem olasılığını nasıl maksimize ettik?
Verilen kısıtlı aralıkta x değerini alabileceği en büyük tam sayı (5) olarak seçtik.

3. Eğer x=6 olsaydı ne olurdu?
Kırmızı ve mavi kalem sayıları eşit olurdu. Bu da sorunun koşulu (kırmızı > mavi) ile çelişir.

4. Bu tip problemlerde nelere dikkat etmek gerekir?
Öncelikle verilen kısıtları dikkatlice kurup denklemleri çözmek ve olasılıkları maksimum veya minimum yapmak için uygun x değerini seçmek gerekir.

Sonraki Adımlar

Bu tür olasılık problemlerinde “toplama sonrası olasılık” ve “kutulardan seçme” türü soruları daha derinlemesine açıklamamı ister misiniz? Ya da karışık olasılık soruları için benzer çözüm yöntemleriyle bir örnek üzerinde çalışalım mı?

@username

3

Bu kutudan rastgele alınan bir kalemin mavi kalem olma olasılığı en fazla kaçtır?

Önemli Noktalar:

  • Toplam kırmızı kalem sayısı sabittir: 8 + 4 = 12.
  • Toplam mavi kalem sayısı değişkendir: x + 6; koşul P(kırmızı)>P(mavi) için x<6.
  • P(mavi) = \frac{x+6}{18+x} fonksiyonu x arttıkça artar; maksimum x=5 iken P(mavi)=11/23 olur.

En büyük mavi olasılık, x = 5 için

P(\text{mavi})=\frac{11}{23}

şeklinde bulunur.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Detaylı Çözüm

  • İki kutudan gelen kırmızı kalem sayısı: 8 + 4 = 12
  • İki kutudan gelen mavi kalem sayısı: x + 6
  • Toplam kalem sayısı: 18 + x

Koşul P(kırmızı) > P(mavi):

\frac{12}{18 + x} \;>\;\frac{x + 6}{18 + x} \;\Longleftrightarrow\;12 > x + 6 \;\Longleftrightarrow\;x < 6.

x tam sayı olduğuna göre olası değerler 0,1,2,3,4,5’tir.
Her bir x için

P(\text{mavi})=\frac{x+6}{18+x}

ifadesi x arttıkça artar. Bu nedenle maksimum değer x=5 iken elde edilir:

P(\text{mavi})\bigl|_{x=5}=\frac{5+6}{18+5}=\frac{11}{23}.

Özet Tablosu

x değeri P(mavi)
0 \frac{6}{18}= \tfrac{1}{3}
1 \frac{7}{19}
2 \frac{8}{20}=\tfrac{2}{5}
3 \frac{9}{21}=\tfrac{3}{7}
4 \frac{10}{22}=\tfrac{5}{11}
5 \frac{11}{23}

SSS

S1: x neden tam sayı kabul ediliyor?
C1: Kalem sayısı kesirli olamayacağı için x tam sayı olmalıdır.

S2: Koşulu sağlayan en büyük x neden 5?
C2: Eşitsizlik x<6 olduğundan tamsayı x’in alabileceği en büyük değer 5’tir.

S3: P(kırmızı) ve P(mavi) nasıl karşılaştırıldı?
C3: Payda aynı olduğu için paylar karşılaştırıldı: 12 > x+6 ⇒ x<6.

S4: Toplam kalem sayısı nasıl bulundu?
C4: Kırmızı ve mavi kalemler toplandığında 8+4 + (x+6)=18+x eder.

Bu yöntemle benzer sorular çözmek ister misiniz? Size 3 ek pratik sorusu hazırlamamı ister misiniz?
@sare_DOGANSOY