Aşağıda kanatlarından her birinin uzunluğu 80 metre ve kule uzunluğu 120 metre olan bir rüzgâr türbini gösterilmiştir.
Bu türbinin kanatlarından birinin uç noktasına bir kuş konuyor ve türbinin kanatları dönse de uç noktadaki konumu değiştirmiyor.
Bu kuşun yerden yüksekliği x olmak üzere, x’in metre cinsinden en geniş değer aralığını veren mutlak değerli eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
A) |x - 120| \leq 80
B) |x - 120| \leq 40
C) |x - 80| \leq 40
D) |x - 80| \leq 120
E) |x - 100| \leq 100
Kuşun Yerden Yüksekliğini (x) Veren Mutlak Değerli Eşitsizlik
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir değişkenin [a, b] kapalı aralığındaki değerlerini mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade etmek için:
- Orta Nokta (Merkez): M = \frac{a + b}{2}
- Yarıçap (Uzaklık): r = \frac{b - a}{2}
- Mutlak Değerli Eşitsizlik: |x - M| \leq r
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kuşun Yerden Alabileceği En Küçük ve En Büyük Yüksekliği Belirleme
- Rüzgâr türbininin dönme merkezinin (kulenin) yerden yüksekliği 120\text{ metre}'dir.
- Kanat uzunluğu 80\text{ metre} olduğundan:
- Kanat tam yukarı doğru dik konuma geldiğinde kuşun yerden yüksekliği maksimum olur:x_{\max} = 120 + 80 = 200\text{ metre}
- Kanat tam aşağı doğru dik konuma geldiğinde kuşun yerden yüksekliği minimum olur:x_{\min} = 120 - 80 = 40\text{ metre}
- Kanat tam yukarı doğru dik konuma geldiğinde kuşun yerden yüksekliği maksimum olur:
Adım 2 — Yükseklik Değer Aralığını Yazma
- Kuş kanat üzerinde dönme hareketi boyunca bu iki sınır değer ve arasındaki tüm yüksekliklerde bulunabilir:40 \leq x \leq 200
Adım 3 — Aralığı Mutlak Değerli Eşitsizliğe Dönüştürme
- Aralığın orta noktası (merkez):M = \frac{200 + 40}{2} = \frac{240}{2} = 120\text{ metre}
- Merkeze olan maksimum uzaklık (yarıçap):r = \frac{200 - 40}{2} = \frac{160}{2} = 80\text{ metre}
- Bu durumda mutlak değerli eşitsizlik:|x - 120| \leq 80
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) |x - 120| \leq 80
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değerin Geometrik Anlamı
- Tanım: |x - a| \leq b ifadesi, x sayısının a noktasına olan uzaklığının en fazla b birim olduğunu belirtir.
- Bu problemde: Kuşun yüksekliği olan x’in, türbinin merkez yüksekliği olan 120\text{ m}'ye olan uzaklığı kanat boyu olan 80\text{ m}'yi aşamaz (|x - 120| \leq 80).
SIK YAPILAN HATALAR:
Kule Boyu ile Kanat Boyunu Ters Eşleştirmek
- Yanlış: Kanat boyunu merkez, kule boyunu uzaklık alarak |x - 80| \leq 120 yazmak.
- Doğru: Sabit dönme merkezi kule yüksekliğidir (120\text{ m}), değişim miktarı ise kanat uzunluğudur (80\text{ m}).
- Neden Yanlış: |x - 80| \leq 120 eşitsizliği açıldığında -40 \leq x \leq 200 aralığı çıkar; ancak yükseklik negatif bir değer alamaz.
Benzer mutlak değerli aralık ve modelleme sorularıyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?
@Egitim_Danismani olur açılımı pek anlayamadım çünkü
Mutlak Değerli Eşitsizliğin Açılımı ve Çözüm Mantığı
KULLANILAN TEMEL KURAL:
k > 0 olmak üzere, mutlak değerli bir eşitsizlik açılırken mutlak değerin içindeki ifade pozitif ve negatif sınır değerlerin arasına alınır:
|A| \leq k \iff -k \leq A \leq k
AÇILIM ADIMLARI:
Adım 1 — Kuralı Eşitsizliğe Uygulama
- Elimizdeki eşitsizlik:|x - 120| \leq 80
- Bu ifade, x - 120 ifadesinin -80 ile +80 arasında olduğunu belirtir:-80 \leq x - 120 \leq 80
Adım 2 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
- x’in değer aralığını bulmak için eşitsizliğin her üç tarafına da +120 eklenir:-80 + 120 \leq x - 120 + 120 \leq 80 + 120
Adım 3 — İşlemi Sonuçlandırma
- Toplama işlemleri yapıldığında:40 \leq x \leq 200
Bu açılım; kuşun yerden yüksekliğinin en az 40\text{ metre}, en fazla 200\text{ metre} olacağını doğrular.
PEKİŞTİRME SORUSU:
Bir seradaki sıcaklığın (T) ideal büyüme için 18^\circ\text{C} ile 26^\circ\text{C} arasında olması istenmektedir (18 \leq T \leq 26).
Bu durumu ifade eden mutlak değerli eşitsizlik:
-
Merkez (Orta Nokta) Bulma:
M = \frac{26 + 18}{2} = \frac{44}{2} = 22^\circ\text{C} -
Yarıçap (Sapma Miktarı) Bulma:
r = \frac{26 - 18}{2} = \frac{8}{2} = 4^\circ\text{C} -
Mutlak Değerli Eşitsizlik:
|T - 22| \leq 4
Sağlaması (Açılımı):
-4 \leq T - 22 \leq 4 \implies 18 \leq T \leq 26
SIK YAPILAN HATA:
Mutlak değerin içindeki eksi işaretini dağıtmak veya tek taraflı açmak
- Yanlış: |x - 120| \leq 80 \implies x - 120 \leq 80 \implies x \leq 200 (Alt sınırı hesaba katmamak).
- Doğru: Mutlak değer kaldırılırken sol tarafa mutlaka sayının negatifi (-80) eklenmelidir.
Bu seradaki sıcaklık sorusuna benzer bir soruyu kendin çözmek için bir deneme sorusu yazmamı ister misin?