Bir kumpiçide orta ve büyük olmak üzere 2 boy patatesin içine mısır, zeytin, sosis, salatalık turşusu, ketçap ve mayonezden en az biri konularak kumpiç yapilmaktadir.
Bu kumpiçide bir kumpiç siparişi veren Zeynep, bu siparişi kaç farklı biçimde verebilir?
A) 63
B) 64
C) 84
D) 124
E) 126
Kumpir Siparişi Olasılık ve Kombinasyon Hesabı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı: 2^n
- n eleman arasından en az 1 eleman seçilme sayısı: 2^n - 1 veya \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}
- Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı (Çarpma Yoluyla Sayma): s(A) \times s(B)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Patates Boyutu Seçimini Belirleme
Kumpir için orta boy ve büyük boy olmak üzere 2 farklı patates boyutu seçeneği bulunmaktadır.
\text{Boyut Seçenekleri} = 2
Adım 2 — Malzeme Seçim Sayısını Hesaplama
Kumpir içine konulabilecek toplam 6 farklı malzeme bulunmaktadır:
- Mısır, zeytin, sosis, salatalık turşusu, ketçap, mayonez (n = 6).
Soruda bu malzemelerden en az birinin seçilmesi gerektiği belirtilmiştir. Her bir malzeme için “seçilme” veya “seçilmeme” olmak üzere 2 durum vardır. Hiçbir malzemenin seçilmediği 1 durumu toplam durumdan çıkarırız:
\text{Malzeme Kombinasyonları} = 2^6 - 1 = 64 - 1 = 63
Adım 3 — Toplam Farklı Sipariş Sayısını Bulma
Patates boyutu seçimi ile malzeme seçimi bağımsız olaylar olduğundan çarpma kuralı uygulanır:
\text{Toplam Sipariş Sayısı} = 2 \times 63 = 126
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 126
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alt Küme Sayısı (2^n)
- Tanım: Bir kümenin elemanlarının var olma veya olmama durumlarının çarpımı ile elde edilen tüm olası seçimleridir.
- Bu problemde: 6 farklı malzemenin oluşturabileceği tüm durumlar için 2^6 = 64 olarak kullanılmıştır.
2. Çarpma Yoluyla Sayma Kuralı
- Tanım: Birbirinden bağımsız A ve B olaylarının birlikte kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini bulmak için seçenek sayılarının çarpılmasıdır.
- Bu problemde: 2 farklı patates boyu ile 63 farklı malzeme seçeneği çarpılarak 126 sonucu bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Boş Durumu Çıkarmayı Unutmak
- Yanlış: Malzeme seçimini doğrudan 2^6 = 64 alıp 2 \times 64 = 128 veya şıklardaki 64 değerine yönelmek.
- Doğru: “En az bir” ifadesi geçtiği için hiçbir malzemenin seçilmediği 1 durumu çıkarmak (2^6 - 1 = 63).
- Neden yanlış: Hiç malzeme konulmadığında kumpir yapılmış sayılmaz; soru kökünde en az bir malzeme kuralı açıkça belirtilmiştir.
Patates Boyutunu Çarpmayı Atlamak
- Yanlış: Sadece malzeme sayısını hesaplayıp 63 (A seçeneği) işaretlemek.
- Doğru: Her malzeme kombinasyonu hem orta hem de büyük boy patates için ayrı ayrı yapılabileceğinden 2 ile çarpmak gerekir.
- Neden yanlış: Patates boyutu seçimi siparişin farklı bir çeşidini oluşturur.
Bu çözümdeki adımlarla ilgili aklına takılan bir yer var mı, yoksa benzer bir kombinasyon sorusuyla pratik yapmak ister misin?