Aşağıda çevreleri 48 cm olan kare şeklinde iki şeffaf kağıt verilmiştir. Bu karelerden biri Şekil 1’deki gibi 9 eş bölüme, diğeri de 16 eş bölüme ayrılmıştır. Daha sonra Şekil 1’deki 3 bölme mavi renge, Şekil 2’deki 4 bölme sarı renge boyanmıştır.
Bu kağıtlar AB kenarı ile CD kenarı çakışacak ve A köşesi ile C köşesi üst üste gelecek biçimde konulduğunda mavi ve sarı bölgelerin kesişimiyle oluşan bölgenin alanı kaç cm^2 olur?
Şeffaf Karelerin Kesişim Alanı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Karenin bir kenar uzunluğu: a = \frac{\text{Çevre}}{4}
- Karenin alanı: A = a^2
- Kesişen iki bölgenin ortak alanı, koordinat düzleminde çakışan aralıkların çarpımıyla bulunur:
\text{Alan} = \Delta x \times \Delta y
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Büyük Karelerin Kenar ve Bölme Uzunluklarını Bulma
Her iki şeffaf kağıdın da çevresi 48\text{ cm} olduğundan, bir kenar uzunluğu:
a = \frac{48}{4} = 12\text{ cm}
- Şekil 1 (9 eş bölme — 3 \times 3 ızgara):
Her bir küçük karenin kenar uzunluğu:\frac{12}{3} = 4\text{ cm} - Şekil 2 (16 eş bölme — 4 \times 4 ızgara):
Her bir küçük karenin kenar uzunluğu:\frac{12}{4} = 3\text{ cm}
Adım 2 — Boyalı Bölgelerin Konumlarını Belirleme
[AB] ve [CD] kenarları ile A ve C köşeleri üst üste gelecek şekilde konulduğunda iki kağıt aynı yönelimle tam olarak çakışır.
Sol alt köşeyi başlangıç noktası (0,0) kabul eden bir koordinat düzlemi tanımlayalım (x: yatay, y: dikey):
-
Şekil 1’deki Mavi Bölgeler (4\text{ cm} \times 4\text{ cm}):
- Sol alt bölme: [0, 4] \times [0, 4]
- Orta bölme: [4, 8] \times [4, 8]
- Sağ üst bölme: [8, 12] \times [8, 12]
-
Şekil 2’deki Sarı Bölgeler (3\text{ cm} \times 3\text{ cm}):
-
- bölme: [0, 3] \times [0, 3]
-
- bölme: [3, 6] \times [3, 6]
-
- bölme: [6, 9] \times [6, 9]
-
- bölme: [9, 12] \times [9, 12]
-
Her iki şekildeki boyalı kareler de sol alttan sağ üste uzanan ana köşegen üzerindedir.
Adım 3 — Kesişim Alanlarını Hesaplama
Köşegen boyunca her bir aralığın kesişimlerini inceleyelim:
-
[0, 3] aralığında:
- Mavi bölge [0, 4] ile Sarı bölge [0, 3] kesişir:
\text{Alan}_1 = 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2 -
[3, 4] aralığında:
- Mavi bölge [0, 4] ile Sarı bölge [3, 6] kesişir:
\text{Alan}_2 = (4 - 3) \times (4 - 3) = 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2 -
[4, 6] aralığında:
- Mavi bölge [4, 8] ile Sarı bölge [3, 6] kesişir:
\text{Alan}_3 = (6 - 4) \times (6 - 4) = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2 -
[6, 8] aralığında:
- Mavi bölge [4, 8] ile Sarı bölge [6, 9] kesişir:
\text{Alan}_4 = (8 - 6) \times (8 - 6) = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2 -
[8, 9] aralığında:
- Mavi bölge [8, 12] ile Sarı bölge [6, 9] kesişir:
\text{Alan}_5 = (9 - 8) \times (9 - 8) = 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2 -
[9, 12] aralığında:
- Mavi bölge [8, 12] ile Sarı bölge [9, 12] kesişir:
\text{Alan}_6 = (12 - 9) \times (12 - 9) = 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2
Adım 4 — Toplam Kesişim Alanını Bulma
Bu ayrık bölgelerin alanlarını toplayalım:
\text{Toplam Alan} = 9 + 1 + 4 + 4 + 1 + 9 = 28\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 28\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Köşegen Simetrisi: İki farklı ızgara sistemindeki kareler aynı köşegen doğrultusunda hizalandığında, kesişimler de köşegen üzerinde kare parçalar oluşturur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sadece tam üst üste gelen kareleri arayıp, parçalı kesişimleri (1\text{ cm}^2 ve 4\text{ cm}^2’lik kısımları) hesaba katmamak.- Doğru Yaklaşım: Her iki kare sisteminin sınır çizgilerini koordinat ekseninde birleştirerek tüm alt aralıkların alanlarını tek tek toplamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber anlamadım ya
Şeffaf Karelerin Kesişim Alanı (Adım Adım Basitleştirilmiş Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Karenin Kenarı} = \frac{\text{Çevre}}{4}
- \text{Kare Alanı} = \text{Kenar} \times \text{Kenar}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
1. Parçaların Boyutlarını Bulalım
Her iki büyük karenin de çevresi 48\text{ cm}'dir:
\text{Büyük karenin bir kenarı} = \frac{48}{4} = 12\text{ cm}
- Şekil 1 (3 sıra, 3 sütun):
Her bir mavi karenin kenarı:\frac{12}{3} = 4\text{ cm} - Şekil 2 (4 sıra, 4 sütun):
Her bir sarı karenin kenarı:\frac{12}{4} = 3\text{ cm}
Kağıtlar köşeleri ve kenarları çakışacak şekilde üst üste konulduğunda, her iki şekilde de boyalı kısımlar sol alttan sağ üste doğru uzanan çapraz hat (köşegen) üzerindedir. Dolayısıyla kesişimler sadece bu çapraz hat üzerinde gerçekleşir.
2. Mavi Kareleri Tek Tek İnceleyelim
Mavi karelerin her biri 4\text{ cm} \times 4\text{ cm} boyutundadır. Bu 3 mavi karenin içine hangi sarı parçaların denk geldiğini sırayla görelim:
1. Mavi Kare (Sol Alttaki — 0’dan 4’e kadar):
- 1. Sarı karenin tamamı (0 ile 3\text{ cm} arası):
Mavi karenin içine tamamen girer.\text{Alan} = 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2 - 2. Sarı karenin başlangıcı (3 ile 4\text{ cm} arası):
Mavi karenin içinde sadece 4 - 3 = 1\text{ cm}'lik bir dilimi kalır.\text{Alan} = 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2 - 1. Mavi karedeki toplam kesişim:9 + 1 = 10\text{ cm}^2
2. Mavi Kare (Ortadaki — 4’ten 8’e kadar):
- 2. Sarı karenin kalan kısmı (4 ile 6\text{ cm} arası):
Uzunluğu 6 - 4 = 2\text{ cm}'dir.\text{Alan} = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2 - 3. Sarı karenin başlangıcı (6 ile 8\text{ cm} arası):
Uzunluğu 8 - 6 = 2\text{ cm}'dir.\text{Alan} = 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2 - 2. Mavi karedeki toplam kesişim:4 + 4 = 8\text{ cm}^2
3. Mavi Kare (Sağ Üstteki — 8’den 12’ye kadar):
Simetriden dolayı 1. mavi kare ile tamamen aynı durum oluşur:
- 3. Sarı karenin son kısmı (8 ile 9\text{ cm} arası):
Uzunluğu 9 - 8 = 1\text{ cm}'dir.\text{Alan} = 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2 - 4. Sarı karenin tamamı (9 ile 12\text{ cm} arası):
Uzunluğu 12 - 9 = 3\text{ cm}'dir.\text{Alan} = 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2 - 3. Mavi karedeki toplam kesişim:1 + 9 = 10\text{ cm}^2
3. Toplam Kesişim Alanı
Bulduğumuz tüm bu parçaları toplayalım:
\text{Toplam Alan} = 10 + 8 + 10 = 28\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 28\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Böl ve Yönet Mantığı: Karışık görünen ızgara kesişim sorularında tüm şekle aynı anda bakmak yerine, sabit bir referans (örneğin mavi kareler) seçip her birinin içine sarı karelerden kaçar santimetrelik kısımların denk geldiğini incelemek çözümü kolaylaştırır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: 3\text{ cm}'lik sarı kareler ile 4\text{ cm}'lik mavi kareler tam eşleşmediği için kesişimin sadece 3 \times 3’lük kısımlardan ibaret olduğunu düşünüp 9 + 9 = 18 bulmak.
- Doğru Yaklaşım: Kareler birbirinin sınırını aştığında arada kalan 1\text{ cm} \times 1\text{ cm} ve 2\text{ cm} \times 2\text{ cm}'lik küçük parçaların da kesişime dahil olduğunu görmek.
Bu mantıkla benzer tarzda bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber Şimdi biz koordinatları yazarken 0’a 4 0’a 4 falan yazıyoruz ya niye
Cetvel Mantığı ile Koordinat Açıklaması
KULLANILAN MANTIK:
Koordinat veya aralık yazmak, aslında karenin kenarına bir cetvel koyup santimetreleri okumaktan başka bir şey değildir.
Büyük kağıdımızın bir kenarı 12\text{ cm}'dir. Kağıdın sol alt köşesini cetvelin sıfır noktası (0) kabul ederiz:
- Yatay eksen (Genişlik): Soldan sağa doğru 0’dan 12\text{ cm}'ye kadar uzanır.
- Dikey eksen (Yükseklik): Aşağıdan yukarıya doğru 0’dan 12\text{ cm}'ye kadar uzanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Neden [0, 4] Diyoruz? (Mavi Kareler)
Şekil 1’de kare 3 eşit parçaya bölündüğü için her bir kutucuğun kenarı 4\text{ cm}'dir:
\frac{12}{3} = 4\text{ cm}
Cetveli sol alt köşeden (0’dan) tuttuğumuzda boyalı kutuların yerleri şöyledir:
-
Sol alttaki mavi kare:
- Soldan sağa cetvelde: 0\text{ cm}'den başlar, 4\text{ cm}'de biter.
- Aşağıdan yukarıya cetvelde: 0\text{ cm}'den başlar, 4\text{ cm}'de biter.
- İşte bu yüzden bu kutunun kapladığı yere [0, 4] \times [0, 4] diyoruz.
-
Ortadaki mavi kare:
- Soldan sağa: İlk kare bittikten sonra, yani 4\text{ cm}'den başlar, 8\text{ cm}'de biter.
- Aşağıdan yukarıya: 4\text{ cm}'den başlar, 8\text{ cm}'de biter.
- Yani bu kutu cetvelde [4, 8] aralığına oturur.
-
Sağ üstteki mavi kare:
- Cetvelde 8\text{ cm}'den başlar, kağıdın sonu olan 12\text{ cm}'de biter ([8, 12]).
Adım 2 — Sarı Karelerde Cetvel Nasıl İlerler?
Şekil 2’de kare 4 eşit parçaya bölündüğü için her bir sarı kutunun kenarı 3\text{ cm}'dir:
\frac{12}{4} = 3\text{ cm}
Aynı cetveli bu kağıda tutarsak sarı kutuların yerleri 3’er 3’er ilerler:
- 1. Sarı kutu: 0’dan 3\text{ cm}'ye kadar ([0, 3])
- 2. Sarı kutu: 3’ten 6\text{ cm}'ye kadar ([3, 6])
- 3. Sarı kutu: 6’dan 9\text{ cm}'ye kadar ([6, 9])
- 4. Sarı kutu: 9’dan 12\text{ cm}'ye kadar ([9, 12])
Adım 3 — Neden Bu Yöntemi Kullanıyoruz?
İki şeffaf kağıdı üst üste koyduğumuzda göz kararıyla “Acaba ne kadarı üst üste bindi?” demek hata yaptırır. Cetvel üzerindeki sayılar sayesinde çakışmayı net olarak görürüz:
- Sol alttaki mavi kare cetvelde 0 ile 4\text{ cm} arasını kaplar.
- İlk sarı kare ise 0 ile 3\text{ cm} arasını kaplar.
- İkisi üst üste gelince ortak kısım tam olarak 0 ile 3\text{ cm} arası olur.
- Mavi karenin geriye kalan 3 ile 4\text{ cm} arasındaki 1\text{ cm}'lik dilimine ise 2. sarı karenin başlangıcı denk gelir.
Kısacası bu sayılar, kutuların kağıdın neresinde durduğunu cetvelle tam olarak ölçmemizi sağlar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET:
[0, 4] yazımı; “Cetvelin 0\text{ cm} çizgisinden 4\text{ cm} çizgisine kadar olan bölge” anlamına gelen pratik bir gösterimdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cetvel mantığı ile düşününce parçaların nasıl üst üste geldiği şimdi daha net oturdu mu?