Bu kağıtlar AB kenarı ile CD kenarı çakışacak ve A köşesi ile C köşesi üst üste gelecek biçimde konulduğunda mavi ve | 1791477854955

YKS TYT
1

Aşağıda çevreleri 48 cm olan kare şeklinde iki şeffaf kağıt verilmiştir. Bu karelerden biri Şekil 1’deki gibi 9 eş bölüme, diğeri de 16 eş bölüme ayrılmıştır. Daha sonra Şekil 1’deki 3 bölme mavi renge, Şekil 2’deki 4 bölme sarı renge boyanmıştır.
Bu kağıtlar AB kenarı ile CD kenarı çakışacak ve A köşesi ile C köşesi üst üste gelecek biçimde konulduğunda mavi ve sarı bölgelerin kesişimiyle oluşan bölgenin alanı kaç cm^2 olur?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32

Aşağıda çevreleri 48 cm olan kare şeklinde iki şeffaf kağıt verilmiştir.
Aşağıda çevreleri 48 cm olan kare şeklinde iki şeffaf kağıt verilmiştir.800×802 69.5 KB

2

Şeffaf Karelerde Kesişim Alanı Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \text{Karenin Kenar Uzunluğu} = \dfrac{\text{Çevre}}{4}
  • Birbirini dik kesen doğrultularda iki karenin kesişim alanı:
    \text{Alan} = (\Delta x) \times (\Delta y)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Karelerin ve Küçük Bölmelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
Her iki şeffaf karenin de çevresi 48\text{ cm} olarak verilmiştir. Buradan bir kenar uzunluğu:

a = \frac{48}{4} = 12\text{ cm}
  • Şekil 1: 9 eş kareye (3 \times 3 ızgara) ayrılmıştır.
    Her bir küçük bölmenin bir kenarı:
    \frac{12}{3} = 4\text{ cm}
  • Şekil 2: 16 eş kareye (4 \times 4 ızgara) ayrılmıştır.
    Her bir küçük bölmenin bir kenarı:
    \frac{12}{4} = 3\text{ cm}

Adım 2 — Konumlandırma ve Koordinat Aralıklarının Belirlenmesi
AB kenarı ile CD kenarı çakışacak ve A köşesi ile C köşesi üst üste gelecek şekilde yerleştirildiğinde iki kağıt aynı yönelimle tam olarak üst üste gelir.

Sol alt köşeyi (0, 0) başlangıç noktası olarak alırsak:

  • Mavi Bölgeler (Şekil 1): Sol alttan sağ üste doğru köşegen üzerindeki 3 karedir:

    • M_1: x \in [0, 4] ve y \in [0, 4]
    • M_2: x \in [4, 8] ve y \in [4, 8]
    • M_3: x \in [8, 12] ve y \in [8, 12]

  • Sarı Bölgeler (Şekil 2): Sol alttan sağ üste doğru köşegen üzerindeki 4 karedir:

    • S_1: x \in [0, 3] ve y \in [0, 3]
    • S_2: x \in [3, 6] ve y \in [3, 6]
    • S_3: x \in [6, 9] ve y \in [6, 9]
    • S_4: x \in [9, 12] ve y \in [9, 12]

Adım 3 — Kesişen Alanların Hesaplanması
Mavi ve sarı bölgelerin tamamı ana köşegen üzerinde yer aldığından, ortak aralıkların karesi kesişim alanlarını verir:

  1. M_1 Bölgesi ile Kesişimler:

    • M_1 \cap S_1: Ortak aralık [0, 3] \implies 3\text{ cm} \times 3\text{ cm} = 9\text{ cm}^2
    • M_1 \cap S_2: Ortak aralık [3, 4] \implies 1\text{ cm} \times 1\text{ cm} = 1\text{ cm}^2

  2. M_2 Bölgesi ile Kesişimler:

    • M_2 \cap S_2: Ortak aralık [4, 6] \implies 2\text{ cm} \times 2\text{ cm} = 4\text{ cm}^2
    • M_2 \cap S_3: Ortak aralık [6, 8] \implies 2\text{ cm} \times 2\text{ cm} = 4\text{ cm}^2

  3. M_3 Bölgesi ile Kesişimler:

    • M_3 \cap S_3: Ortak aralık [8, 9] \implies 1\text{ cm} \times 1\text{ cm} = 1\text{ cm}^2
    • M_3 \cap S_4: Ortak aralık [9, 12] \implies 3\text{ cm} \times 3\text{ cm} = 9\text{ cm}^2

Adım 4 — Toplam Kesişim Alanını Bulma
Tüm kesişim bölgelerinin alanları toplandığında:

\text{Toplam Alan} = 9 + 1 + 4 + 4 + 1 + 9 = 28\text{ cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Aralık Kesişimi: İki boyutlu ızgaralarda aynı doğrultu üzerindeki şekillerin ortak alanı, her iki eksendeki çakışan kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Karelerin sadece birebir denk gelen tam hücrelerini düşünüp aradaki 1\text{ cm} \times 1\text{ cm} veya 2\text{ cm} \times 2\text{ cm}'lik parçalı kesişimleri hesaba katmamak (9 + 9 = 18 gibi eksik sonuç bulmak).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Her parçanın kenar uzunluğunu (4\text{ cm} ve 3\text{ cm}) cetvel üzerinde sayı doğrusu gibi düşünüp üst üste gelen tüm alt aralıkları tek tek belirlemek.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için kağıtlardan birinin 90^\circ döndürülerek konulduğu benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

3

@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

Kısa Çözüm

1. Kenar Uzunlukları:

  • Büyük karelerin bir kenarı: \dfrac{48}{4} = 12\text{ cm}
  • Mavi karelerin kenarı: \dfrac{12}{3} = 4\text{ cm}
  • Sarı karelerin kenarı: \dfrac{12}{4} = 3\text{ cm}

2. Kesişim Alanları:
Her iki şekilde de boyalı kareler aynı köşegen üzerinde dizilidir. 0’dan 12\text{ cm}'ye kadar kenarların üst üste gelen parçaları:

  • [0 - 3]\text{ cm} aralığı: 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2
  • [3 - 4]\text{ cm} aralığı: 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2
  • [4 - 6]\text{ cm} aralığı: 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2
  • [6 - 8]\text{ cm} aralığı: 2 \times 2 = 4\text{ cm}^2
  • [8 - 9]\text{ cm} aralığı: 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2
  • [9 - 12]\text{ cm} aralığı: 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2
\text{Toplam Alan} = 9 + 1 + 4 + 4 + 1 + 9 = 28\text{ cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Benzer bir geometri sorusuyla devam etmek ister misin?