Bu iki soruyu acil çözermisin?
Cevap:
Gönderdiğiniz iki trigonometrik soruyu adım adım çözelim.
İçindekiler
- Birinci Soru: \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta - 1} = ?
- İkinci Soru: Karmaşık trigonometrik toplamın sonucu
- Özet Tablosu
1. Birinci Soru:
Çözüm:
İfade:
\frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta - 1}
Bu tür ifadelerde payda sadeleştirilebilir veya pay ve paydayı uygun ifadelerle çarpabiliriz.
Öncelikle paydayı biraz düzenleyelim:
\cos \theta + \sin \theta - 1
Bunu daha kullanışlı hale getirmek için, trigonometrik ifadeleri kareli ifadelerle ilişkilendirebiliriz.
Bir yöntem olarak, pay ve paydayı \cos \theta + \sin \theta + 1 ile çarpalım (payda eşleniği gibi):
Payda açılımı:
Çünkü \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.
Şimdi ifade:
Burada pay ve paydadaki \cos \theta sadeleşir (cos θ ≠ 0 olduğu varsayılır):
Bu haliyle ifade:
Sonuç:
2. İkinci Soru:
İfade:
Çözüm:
Bu soru karmaşık görünüyor ancak trigonometrik açıların tamamlayıcılık ve simetri özellikleri ile sadeleştirilebilir.
Adım 1: \cot fonksiyonunu \tan ve \sin, \cos cinsinden yazalım
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
Bu durumda paydaki terimler:
Ancak soruda açıların nasıl eşleştiğine dikkat edelim.
Örneğin:
- \cot 89^\circ = \tan 1^\circ (çünkü \cot (90^\circ - x) = \tan x)
- \cot 88^\circ = \tan 2^\circ
- \cot 59^\circ = \tan 31^\circ
- \cot 11^\circ = \tan 79^\circ
Yani \cot (90^\circ - x) = \tan x.
Adım 2: Paydaki terimleri yeniden yazalım
Örneğin, \cos 10^\circ \cdot \cot 89^\circ = \cos 10^\circ \cdot \tan 1^\circ
Genel terim:
Çünkü 90^\circ - \theta yerine \alpha dersek, \cot \alpha = \tan (90^\circ - \alpha).
Ama burada dikkat: soruda açıların toplamı 99° gibi görünmekte, tam eşleşme yok.
Ancak soruda verilen açılar arasında bir örüntü var:
- Paydaki açılar: 10°, 20°, …, 140°
- \cot açılar: 89°, 88°, …, 11°
Görüldüğü üzere, \cot açısı 99^\circ - \theta gibi bir ilişki var.
Ama daha basit bir yol olarak, \cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta olduğunu kullanabiliriz.
Adım 3: Payı sadeleştirme
Eğer paydaki terimler:
O zaman:
Yani paydaki her terim \sin \theta olur.
Adım 4: Pay ve payda toplamları
Pay:
Payda:
Burada açılar farklıdır ama soruda verilen açılar birbirine uyuyor.
Örneğin, payda açılarının toplamı paydaki açılarla uyumlu olabilir.
Adım 5: Örnek açılarla hesaplama
Paydaki açılar: 10°, 20°, …, 140° (muhtemelen 10° aralıklarla)
Paydadaki açılar: 20°, 24°, 26°, …, 88°
Burada paydadaki açılar paydakilerden farklıdır, bu yüzden doğrudan sadeleştirme mümkün değil.
Adım 6: Sonuç
Sorunun tam ifadesi ve açılar net olmadığı için kesin sonuç verilemez.
Ancak paydaki terimler \cos \theta \cdot \cot (90^\circ - \theta) = \sin \theta olduğundan, pay:
Payda ise \sum \sin^2 \theta.
Bu durumda ifade yaklaşık olarak:
Örnek:
Eğer açılar 10°, 20°, 30°, …, 90° ise,
| Açı (°) | \sin \theta | \sin^2 \theta |
|---|---|---|
| 10 | 0.1736 | 0.0301 |
| 20 | 0.3420 | 0.1160 |
| 30 | 0.5 | 0.25 |
| 40 | 0.6428 | 0.4132 |
| 50 | 0.7660 | 0.5868 |
| 60 | 0.8660 | 0.75 |
| 70 | 0.9397 | 0.8830 |
| 80 | 0.9848 | 0.9698 |
| 90 | 1 | 1 |
Toplam \sin \theta \approx 5.1159
Toplam \sin^2 \theta \approx 4.9999
Yaklaşık olarak:
Özet
- Paydaki terimler \cos \theta \cdot \cot (90^\circ - \theta) = \sin \theta olarak sadeleşir.
- İfade yaklaşık olarak \frac{\sum \sin \theta}{\sum \sin^2 \theta} olur.
- Açılar tam verilmediği için kesin sonuç verilemiyor.
3. Özet Tablosu
| Soru No | İfade | Ana İşlem | Sonuç / Yorum |
|---|---|---|---|
| 1 | \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta - 1} | Payda eşleniği ile sadeleştirme | \frac{\cos \theta + \sin \theta + 1}{2 \sin \theta} |
| 2 | Karmaşık trigonometrik toplam | \cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta kullanımı | Paydaki terimler \sin \theta olur, sonuç yaklaşık \frac{\sum \sin \theta}{\sum \sin^2 \theta} |
Özet:
- Birinci soruda payda eşleniği kullanarak ifadeyi sadeleştirdik ve sonucu bulduk.
- İkinci soruda trigonometrik açıların tamamlayıcılık özelliği ile paydaki ifadeyi \sin \theta cinsine çevirdik. Ancak açılar tam net olmadığı için kesin sonuç veremedik.
Eğer ikinci sorunun açılarında netlik sağlarsanız, daha kesin hesaplama yapabiliriz.
Başka sorularınız olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Ecrin811
Soruların Çözümleri
1) Aşağıdaki ifadenin değeri nedir?
[
\frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta - 1}{;\cos\theta + \sin\theta - 1;} = ;?
]
Çözüm Adımları:
- Hatırlayalım:
(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1) - O hâlde paydaüzeri:
[
\cos^2\theta + \sin^2\theta - 1 = 1 - 1 = 0.
] - Kesir böylece şöyle olur:
[
\frac{0}{\cos\theta + \sin\theta - 1} = 0,
]
(payda 0 olmadığı sürece).
Cevap: 0
2) Aşağıdaki büyük toplamın değeri nedir?
(Resimde verilen ifadeyi şu şekilde anlıyoruz:
– Payda: (\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \cdots + \sin^2 44^\circ)
– Pay: (\bigl(\cos1^\circ!\cdot!\cot1^\circ!\cdot!\cos89^\circ\bigr)
+ (\cos2^\circ!\cdot!\cot2^\circ!\cdot!\cos88^\circ)
+ \cdots
+ (\cos44^\circ!\cdot!\cot44^\circ!\cdot!\cos46^\circ)).)
Her bir terim aslında
[
\cos\alpha;\cot\alpha;\cos(90^\circ-\alpha)
=\cos\alpha;\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};\sin\alpha
=\cos^2!\alpha.
]
Dolayısıyla
- Pay = (\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\cos^2k^\circ)
- Payda = (\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\sin^2k^\circ)
Ancak açıları 1°–44° arası olmak üzere seçim simetriktir:
[
\sin^2k^\circ = \cos^2(90^\circ - k^\circ),
]
ve (k) koşulunu 1’den 44’e kadar değiştirdiğimizde, pay ve payda terim kümeleri birbirinin tam tamamlayıcısı olur. Sonuç olarak bu iki toplam birbirine eşittir:
[
\sum_{k=1}^{44}\cos^2k^\circ
;=;
\sum_{k=1}^{44}\sin^2k^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\sum\cos^2k^\circ}{\sum\sin^2k^\circ}
=1.
]
Cevap: 1
Özet Tablosu
| Soru No | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | (\dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta - 1}{\cos\theta + \sin\theta - 1}) | 0 |
| 2 | (\dfrac{\sum\cos\alpha\cot\alpha\cos(90^\circ-\alpha)}{\sum\sin^2\alpha}) | 1 |