- Aşağıda verilen sayılardan hangi ikisi aralarında asaldır?
A) 36 ile 45
B) 18 ile 42
C) 25 ile 27
D) 39 ile 52 - Aşağıda verilen hangi iki pul üzerinde yazan sayı aralarında asal değildir?
A) 8, 25
B) 21, 91
C) 1, 9
D) 17, 78
Bu iki kalemlikte bulunan kalem sayıları aralarında asal olduğuna göre, yeşil kalemlikte bulunan kalem sayısı (A) aşağıdaki sayılardan hangisine tam bölünebilir?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7 - Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
B) Aralarında asal iki sayının ikisi de asaldır.
C) Aralarında asal olmayan iki sayının ikisi de asal sayı olmayabilir. - Aşağıda verilen bir kağıdın ön yüzünde 33 sayısı, arka yüzünde ise iki basamaklı K7 sayısı yazılıdır.
Kartın ön ve arka yüzlerinde yazılı olan sayılar aralarında asal-
dır.
Buna göre, K yerine yazılamayacak rakamların toplamı kaçtır?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 25 - Aşağıda verilen iki çubuğun uzunlukları cm cinsinden aralarında asal birer doğal sayıdır.
Çubukların cm cinsinden uzunluklarının sayısal değerlerinin çarpımı 24 olduğuna göre, bu iki çubuğun uzunlukları toplamı en az kaç santimetredir?
A) 25
B) 14
C) 11
D) 10
Aralarında Asal Sayılar — Test Soruları Çözümleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birden başka ortak pozitif böleni (çarpanı) olmayan pozitif tam sayılara aralarında asal sayılar denir: \text{EBOB}(a, b) = 1.
- Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal sayı olması gerekmez.
- 1 sayısı, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
- Ardışık iki tam sayı daima aralarında asaldır.
Soru 1
ÇÖZÜM ADIMLARI & Seçenek Analizi:
- A) 36 ile 45: Her iki sayı da 9’a bölünür (\text{EBOB}(36, 45) = 9 \neq 1). Aralarında asal değildir.
- B) 18 ile 42: Her iki sayı da çifttir ve 6’ya bölünür (\text{EBOB}(18, 42) = 6 \neq 1). Aralarında asal değildir.
- C) 25 ile 27: 25 = 5^2 (bölenleri 1, 5, 25) ve 27 = 3^3 (bölenleri 1, 3, 9, 27). Ortak bölenleri yalnızca 1’dir (\text{EBOB}(25, 27) = 1). Dolayısıyla aralarında asaldır.
- D) 39 ile 52: Her iki sayı da 13’e tam bölünür (39 = 3 \cdot 13, 52 = 4 \cdot 13). Aralarında asal değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 25 ile 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 2
ÇÖZÜM ADIMLARI & Seçenek Analizi:
- A) 8 ve 25: 8 = 2^3, 25 = 5^2. Ortak bölenleri sadece 1’dir. Aralarında asaldır.
- B) 21 ve 91: 21 = 3 \cdot 7 ve 91 = 7 \cdot 13. Her iki sayı da 7’ye tam bölünür (\text{EBOB}(21, 91) = 7). Bu nedenle aralarında asal değildir.
- C) 1 ve 9: 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
- D) 17 ve 78: 17 bir asal sayıdır. 78, 17’ye tam bölünmez (17 \cdot 4 = 68, 17 \cdot 5 = 85). Ortak bölenleri yalnızca 1’dir. Aralarında asaldır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 21, 91
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 3
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Mavi Kalemliğin Asal Çarpanlarını Bulma
Mavi kalemlikte 70 kalem bulunmaktadır. 70’in asal çarpanlarını ayıralım:
70 = 2 \cdot 5 \cdot 7
Adım 2 — Aralarında Asal Olma Şartını Değerlendirme
Yeşil kalemlikteki kalem sayısı A ile 70 sayısı aralarında asal olduğuna göre, A sayısının çarpanları arasında 70’in asal çarpanları olan 2, 5 ve 7 bulunamaz. Yani A sayısı 2, 5 ve 7’ye kesinlikle bölünemez.
Dolayısıyla A sayısı seçeneklerde verilen sayılardan yalnızca 70’in böleni olmayan 3 sayısına tam bölünebilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 4
ÇÖZÜM ADIMLARI & Seçenek Analizi:
- A) İki tek sayı her zaman aralarında asaldır: Yanlış. Örneğin 9 ve 15 tek sayılardır ancak her ikisi de 3’e bölünür.
- B) Aralarında asal iki sayının ikisi de asaldır: Yanlış. Örneğin 8 ve 9 aralarında asaldır fakat ikisi de asal sayı değildir.
- C) Aralarında asal olmayan iki sayının ikisi de asal sayı olmayabilir: Doğru. Örneğin 4 ve 6 sayıları aralarında asal değildir ve ikisi de asal sayı değildir. Önerme “olmayabilir” diyerek bu ihtimalin varlığını belirttiği için her zaman geçerli bir doğrudur.
- D) Ardışık iki sayı her zaman aralarında asal değildir: Yanlış. Aksine, ardışık pozitif tam sayılar (örneğin 7 ile 8) daima aralarında asaldır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) Aralarında asal olmayan iki sayının ikisi de asal sayı olmayabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 5
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 33 Sayısının Asal Çarpanlarını Belirleme
33 = 3 \cdot 11
İki basamaklı K7 sayısı ile 33 aralarında asal ise, K7 sayısı 3’e ve 11’e tam bölünmemelidir.
Adım 2 — K Yerine Gelebilecek Rakamları Test Etme (K \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})
K7 iki basamaklı sayıları: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
-
3’e bölünebilenler (Rakamları toplamı 3’ün katı olanlar):
- K = 2 \implies 27 (2 + 7 = 9, 3’e bölünür
) - K = 5 \implies 57 (5 + 7 = 12, 3’e bölünür )
- K = 8 \implies 87 (8 + 7 = 15, 3’e bölünür )
- K = 2 \implies 27 (2 + 7 = 9, 3’e bölünür
-
11’e bölünebilenler:
- K = 7 \implies 77 (11’e bölünür )
- K = 7 \implies 77 (11’e bölünür
Bu durumda K yerine yazılamayacak rakamlar: 2, 5, 7, 8
Adım 3 — Yazılamayacak Rakamların Toplamı
2 + 5 + 7 + 8 = 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 6
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpımları 24 Olan Sayı Çiftlerini Bulma
Çubukların uzunlukları a ve b olsun:
a \cdot b = 24
Pozitif çarpan çiftleri:
- 1 \cdot 24 = 24
- 2 \cdot 12 = 24
- 3 \cdot 8 = 24
- 4 \cdot 6 = 24
Adım 2 — Aralarında Asal Olan Çiftleri Seçme
- (1, 24) \implies \text{EBOB}(1, 24) = 1 (Aralarında asal)
- (2, 12) \implies \text{EBOB}(2, 12) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değil)
- (3, 8) \implies \text{EBOB}(3, 8) = 1 (Aralarında asal)
- (4, 6) \implies \text{EBOB}(4, 6) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değil)
Adım 3 — Toplamın En Az Değerini Hesaplama
- 1 + 24 = 25\text{ cm}
- 3 + 8 = 11\text{ cm}
En küçük toplam 11\text{ cm} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan bir adım veya benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?