Şekil 1’de kenar uzunlukları birim türünden verilen dikdörtgen şeklindeki tahta parçasından 5 adet kullanılarak Şekil 2’deki yapı oluşturuluyor.
Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları olan x_{1} ve x_{2}'yi kök kabul eden ikinci dereceden denklem
x^2 - (3m + 1)x + 16 = 0
olarak verilmektedir.
Buna göre, m gerçek sayısı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı Bağıntıları (Vieta Teoremi)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İkinci dereceden ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, kökler çarpımı ise x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Şekil 2’den Kenar Bağıntısının Bulunması
Dikdörtgen tahta parçasının kısa kenarına x_2, uzun kenarına x_1 diyelim. Şekil 2’de 1 adet dikey tahtanın yanına 4 adet yatay tahta üst üste dizilmiştir. Şeklin üst ve alt sınırları hizalı olduğundan dikey tahtanın uzun kenarı, 4 adet yatay tahtanın kısa kenarlarının toplamına eşittir:
x_1 = 4x_2
Adım 2 — Kökler Çarpımı ile Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
Verilen x^2 - (3m + 1)x + 16 = 0 denkleminde kökler çarpımı bağıntısını uygulayalım:
x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{1} = 16
x_1 = 4x_2 eşitliğini yerine yazarsak:
(4x_2) \cdot x_2 = 16 \implies 4x_2^2 = 16 \implies x_2^2 = 4
Uzunluk pozitif olmak zorunda olduğundan:
x_2 = 2 \text{ birim} \quad \text{ve} \quad x_1 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ birim}
Adım 3 — Kökler Toplamı ile m Değerinin Bulunması
Denklemdeki kökler toplamı bağıntısını kuralım:
x_1 + x_2 = -\frac{-(3m + 1)}{1} = 3m + 1
Bulduğumuz kök değerlerini yerine yazalım:
8 + 2 = 3m + 1 \implies 10 = 3m + 1 \implies 3m = 9 \implies m = 3
CEVAP: B) 3 (m = 3)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Geometri ile cebirin birleştirildiği bu tür sorularda öncelikle özdeş parçaların temas eden kenarlarından oran (x_1 = 4x_2) yakalanmalı, ardından sabit terim bilindiği için ilk olarak kökler çarpımından başlanmalıdır.