Bu dikdörtgen sorusunu hemen çöz düzgünce

YKS TYT
,
1

17654522193892017850020850826932
176545221938920178500208508269323060×4080 615 KB

2

Bu dikdörtgen sorusunu hemen çöz düzgünce

Soru:

ABCD dikdörtgeninde, |AF| = |FE|, |BE| = |EC| = 8 cm ve |AB| = 10 cm’dir. Yukarıdaki verilere göre, |FD| = x kaç cm’dir?

Seçenekler:
A) 15
B) 13
C) 12
D) 4\sqrt{5}
E) 10

Çözüm:

1. Verilenler ve Şeklin Analizi

  • ABCD dikdörtgeni,
  • |AB| = 10 cm (dikdörtgenin kısa kenarı),
  • |BE| = |EC| = 8 cm (dikdörtgenin uzun kenarı |BC| = 16 cm),
  • |AF| = |FE| (F noktası, A ve E arasında öyle bir nokta ki AF = FE),
  • |FD| = x isteniyor.

2. Dikdörtgenin Kenar Uzunlukları

  • AB = 10 cm,
  • BC = 16 cm (çünkü BE + EC = 8 + 8 = 16 cm),
  • CD = 10 cm,
  • DA = 16 cm.

3. Koordinat Sistemi Kurulumu

Çözümü kolaylaştırmak için ABCD dikdörtgenini koordinat sistemine yerleştirelim.

  • A = (0,0),
  • B = (0,10) (çünkü AB = 10 cm dikey),
  • C = (16,10),
  • D = (16,0).

4. Noktaların Koordinatları

  • E noktası BC kenarının ortasında, çünkü BE = EC = 8 cm.
    B = (0,10), C = (16,10) olduğuna göre,
    E = (8,10).

  • F noktası AE üzerinde ve AF = FE.
    A = (0,0), E = (8,10) olduğuna göre,
    F noktası AE doğru parçasının orta noktasıdır.
    Çünkü AF = FE ise F orta noktadır.
    O halde,
    F = \left(\frac{0+8}{2}, \frac{0+10}{2}\right) = (4,5).

5. FD Uzunluğunu Bulma

  • F = (4,5),
  • D = (16,0).

İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
FD = \sqrt{(x_D - x_F)^2 + (y_D - y_F)^2}

Yerine koyarsak:
FD = \sqrt{(16 - 4)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13

6. Sonuç

|FD| = 13 cm.

Özet Tablosu

Nokta Koordinat Açıklama
A (0,0) Başlangıç noktası
B (0,10) Dikdörtgenin kısa kenarı
C (16,10) Uzun kenar, BE=EC=8
D (16,0) Alt sağ köşe
E (8,10) BC kenarının orta noktası
F (4,5) AE’nin orta noktası (AF=FE)
İstenen Değer
$ FD

Cevap: B) 13

Eğer soruyla ilgili başka bir konuda yardıma ihtiyacınız olursa, çekinmeden sorabilirsiniz! @makenw

3

Soru:

ABCD dikdörtgeninde;

  • |AF| = |FE|,
  • |BE| = |EC| = 8 cm,
  • |AB| = 10 cm
    verildiğine göre |FD| = x kaç cm’dir?

İçindekiler

  2. Koordinat Sistemi Kurulumu

1. Problemin Yeniden Tanımı

  • ABCD bir dikdörtgen.
  • Sol dikey kenar AB = 10 cm.
  • Alt taban BC, E noktası ile iki eş parçaya ayrılıyor: BE = EC = 8 cm ⇒ BC = 16 cm.
  • F, AB kenarı üzerinde öyle bir noktadır ki AF = FE. FE, F’den E’ye çizilen iç bölge çaprazıdır.
  • D, dikdörtgenin sağ üst köşesi; F’den D’ye çizilen FD uzunluğu x olarak işaretlenmiştir.

Amaç: x = |FD| değerini bulmak.

2. Koordinat Sistemi Kurulumu

Kolaylık olması için A, B, C, D noktalarını şu şekilde tanımlayalım:

  • A = (0, 10)
  • B = (0, 0)
  • C = (16, 0)
  • D = (16, 10)

E noktası, BC kenarı üzerinde ve BE = 8 cm olduğuna göre

  • E = (8, 0)

F noktası, AB kenarı üzerinde, yani x-koord = 0, y-koord = y olacak şekilde

  • F = (0, y)

Burada AF = |A–F| = 10 – y (dikey mesafe),
FE = mesafedir.

3. AF = FE Koşulunun Denklemi

  1. AF = 10 – y
  2. FE = √[ (0–8)² + (y–0)² ] = √(64 + y²)

Eşitliyoruz:
$
10 - y ;=;\sqrt{64 + y^2}
$

Her iki tarafı karesini alalım:
$
(10 - y)^2 ;=;64 + y^2
$

$
100 -20y + y^2 ;=;64 + y^2
$

y^2 terimleri birbirini götürür:
$
100 - 20y =64
$

$
20y =36
\quad\Longrightarrow\quad
y = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} = 1{,}8
$

Dolayısıyla

  • F = (0, 1{,}8)
  • AF = 10 – 1{,}8 = 8{,}2 cm
  • FE = √(64 + 1{,}8²) = 8{,}2 cm (kontrol)

4. FD Uzunluğunun Hesaplanması

FD, F = (0, 1{,}8) ile D = (16, 10) arası uzaklık:

$
|FD| = \sqrt{(16-0)^2 + (10 - 1{,}8)^2}
= \sqrt{16^2 + (8{,}2)^2}
= \sqrt{256 + 67{,}24}
= \sqrt{323{,}24}
= \frac{\sqrt{8081}}{5}
\approx 17{,}98;\text{cm}
$

Yani
x = |FD| ≃ 17,98 cm.

5. Sonucun Şıklarla Karşılaştırılması

Problemin verdiği cevap seçenekleri genellikle 15, 13, 12, 4√5 ≃ 8,94, 10 şeklindeydi. Hesabımızdan çıkan ≈ 17,98 cm şıklarda YOK.

Bu durum, ya soruda bir yazım/etiketleme hatası olduğunu düşündürür ya da seçeneklerde eksik/yanlış değer yazılmış olabilir.

6. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Koordinatlar A(0,10), B(0,0), C(16,0), D(16,10), E(8,0), F(0,y) –
AF = FE 10 - y = \sqrt{64 + y^2} ⇒ y = 1{,}8 AF = FE = 8,2 cm
FD uzaklığı $ FD
Şıklarla karşılaştırma Mevcut şıklar (15, 13, 12, 4√5, 10) Uyuşmuyor

Sonuç:
Analitik geometri yöntemiyle bulunan $x = |FD| \approx 17{,}98,$cm’tir; verilen şıklarla eşleşmemektedir. @makenw