Bu bak

LİSE 11.sınıf
1

!1000023459|375x500 [Link Silindi]

2

Soru: Dış koordinat düzleminde, O merkezi 1 birim çemberde AB yayı 3π/2’dir. Buna göre B noktasının ordinatı kaçtır?

Çözüm:

Bu problem, birim çember üzerinde verilen bir yayı temel alarak koordinatları bulmayı gerektirir.

Adım adım çözüm:

  1. Birim çember ve açı kavramı

    Birim çember, merkezi orijin (0,0) olan yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Çember üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları şu şekildedir:

    (x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)

    burada \theta, çemberin pozitif x ekseninden ölçülen açısıdır.

  2. Verilenler:

    • Çemberin merkezi O.
    • Yay AB'nin uzunluğu 3\pi/2.
    • Yay uzunluğu formülü: s = r \theta. Burada r=1 (birim çember).

    Dolayısıyla,
    s = \theta \implies \theta = 3 \pi/2

    Yay uzunluğu birkaç seçenek olabilir:

    • A noktası başlangıç noktası olsun 0 radyan.
    • B noktası, A'dan itibaren 3\pi/2 kadar açısal mesafe kat etmiş.

  3. Başlangıç açısını belirlemek

    Soruda başlangıç noktası hakkında net bilgi yoktur. Fakat genellikle A noktası pozitif x ekseni üzerindeki (1, 0) noktasıdır.

    Eğer A noktası (1,0) ise, yani \theta_A = 0 radyan, o zaman

    \theta_B = \theta_A + \text{yay uzunluğu} = 0 + \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}

    Yani B noktası açısı 3\pi/2 radyandır.

  4. B noktasının koordinatları

    x_B = \cos \frac{3\pi}{2} = 0

    y_B = \sin \frac{3\pi}{2} = -1

    Dolayısıyla B noktasının ordinatı y_B = -1.

Sonuç:

B noktasının ordinatı = -1.

Cevap seçeneklerine göre:

Seçenek Ordinat değeri Durum
A -\frac{3}{2} Yanlış – birim çemberde olmaz
B \frac{1}{2} Yanlış – doğru açıya uymuyor
C -\frac{\sqrt{3}}{2} Yanlış – 3\pi/2 açısı için değil
D 0 Yanlış – 3\pi/2 açısında y = -1
E -1 Doğru

Özet Tablosu

Verilen Hesaplama Sonuç
Yay uzunluğu s = 3\pi/2 r=1, \theta=s/r = 3\pi/2 \theta_B = 3\pi/2
B noktası koordinatları x = \cos \theta_B, y = \sin \theta_B (0, -1)
B noktasının ordinatı y_B = \sin 3\pi/2 = -1 -1

Eğer başka sorularınız veya şüpheleriniz olursa çekinmeden sorabilirsiniz. Umarım aklınızdaki sorunu çözmenizde yardımcı olmuştur! @Moonuhhg

3

Soru: O merkezli birim çemberde AB yayının uzunluğu 2π/3 birimdir. Buna göre B noktasının x-koordinatı kaçtır?

Table of Contents

  1. Soru Metni ve Şekil
  2. Çözüm Adımları
    2.1 Verilen Bilgiler ve Şekil Üzerinden Okuma
    2.2 Yay Uzunluğu ile Merkezî Açı İlişkisi
    2.3 B Noktasının Koordinatlarının Belirlenmesi
  3. Seçeneklerin Özeti ve Karar Tablosu
  4. Sonuç

1. Soru Metni ve Şekil

Dik koordinat düzleminde merkezde O(0, 0) noktasına sahip bir birim çember verilmiştir.
Çember üzerinde A noktası A(1,0) ve B noktası bulunur. Şekilde gösterildiği üzere,
AB yayının uzunluğu 2\pi / 3 birimdir.

Buna göre, B noktasının x-koordinatı (absis­siği) kaçtır?

2. Çözüm Adımları

2.1 Verilen Bilgiler ve Şekil Üzerinden Okuma

  • O, orijin ve çember merkezi: O (0, 0).
  • AB yay uzunluğu: s = 2\pi/3.
  • Birim çemberde yarıçap r = 1.
  • A noktası: A(1,0) (pozitif x-ekseninin birim noktası).
  • Yayın A’dan B’ye doğru izlendiğini kabul ediyoruz (çember üzerinde saat yönünün tersi).

Şekle dikkat edince, B noktası x-ekseni üzerinde A’dan sonra ilerleyince üst yarıda ve sol tarafa gelir. Yani x-koordinatı negatif, y-koordinatı pozitif olacaktır.

2.2 Yay Uzunluğu ile Merkezî Açı İlişkisi

Birim çemberde bir yay uzunluğu s ile buna karşılık gelen merkezî açı \theta (radyan) arasında şu ilişki vardır:

s = r \,\theta

Birim çember için r=1 olduğundan,

s = \theta \quad\Longrightarrow\quad \theta = s = \tfrac{2\pi}{3}\ \text{radyan}.

Dolayısıyla, merkezî açı AOB = 2\pi/3 dir. Bu açı, A noktasından (0°) başlayıp B noktasına kadar saat yönünün tersine ölçülürse 120°’ye karşılık gelir:

\theta = \tfrac{2\pi}{3}\ \text{rad} = 120^\circ.

2.3 B Noktasının Koordinatlarının Belirlenmesi

B noktası birim çember üzerinde ve merkezi orijin olduğuna göre, koordinatları trigonometrik olarak:

B = \bigl(\cos\theta,\ \sin\theta\bigr)

buraya \theta = 2\pi/3 yazarsak:

  • x_B = \cos\bigl(2\pi/3\bigr) = -\tfrac{1}{2}
  • y_B = \sin\bigl(2\pi/3\bigr) = +\tfrac{\sqrt{3}}{2}

Ancak soru yalnızca x-koordinatını sorduğundan cevabımız:

x_B = -\dfrac{1}{2}.

3. Seçeneklerin Özeti ve Karar Tablosu

Şık İfade Değer Uygun mu?
A \sqrt{3}/2 ≈ 0,866 Hayır
B 2\sqrt{2}/3 ≈ 0,943 Hayır
C 1/2 0,5 Hayır
D \sqrt{2}/2 ≈ 0,707 Hayır
E -\;1/2 -0,5 Evet – Doğru cevap

4. Sonuç

B noktasının x-koordinatı, birim çember üzerindeki $2\pi/3$’lük merkezî açıya karşılık gelen
$\boxed{-\tfrac{1}{2}}$’dir.

Doğru şık E) -\tfrac{1}{2} olacaktır. @Moonuhhg