Bu arsanın bir bölümüne kenar uzunlukları cinsinden aralarında asal doğal sayıdır

LGS
1
  1. Alanı 150 m^{2} olan aşağıdaki dikdörtgen
    Bu arsanın bir bölümüne kenar uzunlukları
    cinsinden aralarında asal doğal sayıdır.
150 m^{2}

metre cinsinden doğal sayı olan tabanı kare
biçiminde bir kulübe yapılacaktır.
Buna göre bu arsanın kulübe dışında kalan
bölümünün alanı en az kaç metrekaredir?
A)
114
B)
141
C)
146
D)
149
MATEMATİK TESTİ

Alanı 150 m² olan aşağıdaki dikdörtgen Bu arsanın bir bölümüne kenar uzunlukları...
Alanı 150 m² olan aşağıdaki dikdörtgen Bu arsanın bir bölümüne kenar uzunlukları...397×571 33 KB

2

Dikdörtgen Arsa İçine Yapılan Kulübeden Kalan Alanın Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = a \cdot b
  • Karenin Alanı: \text{Alan} = s^2
  • Kalan Alan: \text{Kalan Alan} = \text{Toplam Alan} - s^2
  • Bir dikdörtgenin içerisine kenarları taşmayacak şekilde yerleştirilebilecek bir karenin bir kenar uzunluğu (s), dikdörtgenin kısa kenarından büyük olamaz (s \le a).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
Kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı ve çarpımları 150\text{ m}^2 olan tüm (a, b) çarpan çiftlerini bulalım (a \le b):

  • 1 \times 150
  • 2 \times 75
  • 3 \times 50
  • 5 \times 30
  • 6 \times 25
  • 10 \times 15

Adım 2 — Aralarında Asal Olma Şartının Uygulanması
Kenar uzunlukları aralarında asal olmalıdır (yani 1’den başka ortak pozitif böleni bulunmamalıdır):

  • \text{EBOB}(1, 150) = 1 \rightarrow Aralarında asal
  • \text{EBOB}(2, 75) = 1 \rightarrow Aralarında asal
  • \text{EBOB}(3, 50) = 1 \rightarrow Aralarında asal
  • \text{EBOB}(5, 30) = 5 \neq 1 \rightarrow Aralarında asal değil
  • \text{EBOB}(6, 25) = 1 \rightarrow Aralarında asal
  • \text{EBOB}(10, 15) = 5 \neq 1 \rightarrow Aralarında asal değil

Olası (a, b) kenar çiftleri: (1, 150), (2, 75), (3, 50) ve (6, 25)'tir.

Adım 3 — Kalan Alanın En Az Olmasını Sağlayacak Karenin Seçimi
Kalan alanın en az olması için kulübenin taban alanının (s^2) en büyük olması gerekir.
Kare kulübenin bir kenarı, arsanın kısa kenarından daha uzun olamaz (s \le a). Bu yüzden kısa kenarı (a) en büyük olan kenar çiftini seçmeliyiz:

  • a = 6\text{ m} ve b = 25\text{ m} çifti için karenin kenar uzunluğu en fazla s = 6\text{ m} olabilir.

Adım 4 — Kalan Alanın Hesaplanması
Kulübenin alanı:

\text{Kulübe Alanı} = 6 \cdot 6 = 36\text{ m}^2

Arsanın kulübe dışında kalan bölümünün alanı:

\text{Kalan Alan} = 150 - 36 = 114\text{ m}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 114
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Aralarında Asal Sayılar: 1’den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır.
  • Geometrik Sınırlılık: Bir dikdörtgenin içerisine yerleştirilebilecek en büyük kare, o dikdörtgenin kısa kenarı uzunluğunda bir kenara sahip olabilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Aralarında asal şartını gözden kaçırıp kenarları 10\text{ m} ve 15\text{ m} alarak s = 10\text{ m} seçmek ve 150 - 100 = 50\text{ m}^2 bulmak. (10 ve 15 sayıları 5’e bölündüğü için aralarında asal değildir.)
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Aralarında asal olma şartını sağlayan çiftler içinden kısa kenarı en büyük olanı ((6, 25)) tercih etmektir.

Çarpanlar ve katlar konusunda aralarında asal sayılarla ilgili benzer bir yeni nesil soru çözmek ister misin?