Biyolog Zafer Bey, bambu ağaçları üzerinde çalışma yapmaktadır. Bunun için 2023 yılında tropikal bölgede bulunan bir bambu ağacının boyunu ölçtüğünde \sqrt{65} birim olduğunu görmüştür. Zafer Bey yaptığı araştırmalar sonucunda ağacın her yıl bir önceki yıl uzadığı miktarın üç katı kadar uzadığını hesaplamıştır.
Bu ağacın 2026 yılındaki boyu 89 birim olduğuna göre 2024 yılındaki boyu birim cinsinden hangi iki tam sayı arasındadır?
A) 11 - 12
B) 12 - 13
C) 13 - 14
D) 14 - 15
E) 15 - 16
Bambu Ağacının Boy Artışı ve Kareköklü Sayılarda Yaklaşık Değer
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ağacın n. yıldaki toplam boyu: \text{Toplam Boy} = \text{Başlangıç Boyu} + \sum (\text{Yıllık Uzama Miktarları})
- Kareköklü sayıların ardışık tam sayı sınırları ve yaklaşık değer hesabı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yıllık Uzama Miktarlarını Modelleme
Ağacın 2023 - 2024 yılları arasındaki uzama miktarına x birim diyelim. Her yıl bir önceki yıl uzadığı miktarın 3 katı kadar uzadığı belirtilmiştir:
- 2023 - 2024 uzama miktarı: x birim
- 2024 - 2025 uzama miktarı: 3 \cdot x = 3x birim
- 2025 - 2026 uzama miktarı: 3 \cdot (3x) = 9x birim
Adım 2 — 2026 Yılındaki Toplam Boyu Eşitleme ve x’i Bulma
2026 yılındaki boy, 2023 yılındaki başlangıç boyu ile geçen üç yıldaki uzama miktarlarının toplamıdır:
\text{Boy}_{2026} = \sqrt{65} + x + 3x + 9x = \sqrt{65} + 13x
2026 yılındaki boy 89 birim olarak verildiğinden:
\sqrt{65} + 13x = 89
13x = 89 - \sqrt{65}
x = \frac{89 - \sqrt{65}}{13}
Adım 3 — 2024 Yılındaki Boyun İfadesini Oluşturma
2024 yılındaki boy, başlangıç boyu ile ilk yılın uzama miktarının toplamıdır:
\text{Boy}_{2024} = \sqrt{65} + x
\text{Boy}_{2024} = \sqrt{65} + \frac{89 - \sqrt{65}}{13} = \frac{13\sqrt{65} + 89 - \sqrt{65}}{13} = \frac{12\sqrt{65} + 89}{13}
Adım 4 — Yaklaşık Değeri Hesaplama ve Tam Sayı Aralığını Belirleme
\sqrt{64} = 8 olduğundan, \sqrt{65} değeri 8’den çok az büyüktür (8 < \sqrt{65} < 8{,}5):
- \sqrt{65} \approx 8{,}06 alınabilir.
- 12 \cdot \sqrt{65} \approx 12 \cdot 8{,}06 = 96{,}72
- Payın değeri: 96{,}72 + 89 = 185{,}72
Şimdi bu değeri 13’e bölelim:
\text{Boy}_{2024} \approx \frac{185{,}72}{13} \approx 14{,}28\text{ birim}
Eşitsizlik üzerinden kesin doğrulama:
8 < \sqrt{65} < 8{,}5
96 < 12\sqrt{65} < 102
96 + 89 < 12\sqrt{65} + 89 < 102 + 89
185 < 12\sqrt{65} + 89 < 191
13 ile genişletilmiş tam sayı sınırları incelendiğinde (14 \times 13 = 182 ve 15 \times 13 = 195):
182 < 185 < 12\sqrt{65} + 89 < 191 < 195
\frac{182}{13} < \text{Boy}_{2024} < \frac{195}{13} \implies 14 < \text{Boy}_{2024} < 15
Böylece 2024 yılındaki boy 14 - 15 tam sayıları arasındadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 14 - 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Geometrik Dizi Mantığı ile Artış: Bir nicelik her dönem bir öncekinin sabit katı kadar arttığında (x, 3x, 9x), kümülatif toplamlar toplam katsayı oluşturur (1 + 3 + 9 = 13).
- Kareköklü Sayılarda Tahmin: Tam kare sayılardan yararlanarak (64 < 65 < 81) köklü bir ifadenin ondalık karşılığı kolayca sınırlandırılabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ağacın boyunun her yıl 3 katına çıktığını varsaymak (3 \cdot \sqrt{65}).- Doğru Yaklaşım: Soru metninde ağacın boyunun değil, “uzadığı miktarın” 3 katına çıktığı belirtilmiştir.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber en kesin çözüm olarak 8 ve 8.30 arasında mı almamız
Kareköklü İfadelerde Kesin Aralık Belirleme Mantığı
Sorunun en kesin ve matematiksel olarak kusursuz çözümü, eşitsizliği tersten kurarak \sqrt{65} için hangi sınırların şart olduğunu görmek ve bu sınırları sağlayan en pratik değer aralığını seçmektir.
1. Matematiksel Olarak Hangi Sınır Şarttır?
2024 yılındaki boyun 14 ile 15 arasında olduğunu kesin olarak kanıtlamak istiyoruz:
14 < \frac{12\sqrt{65} + 89}{13} < 15
Eşitsizliğin her tarafını 13 ile çarpalım:
182 < 12\sqrt{65} + 89 < 195
Her taraftan 89 çıkaralım:
93 < 12\sqrt{65} < 106
Her tarafı 12’ye bölelim:
\frac{93}{12} < \sqrt{65} < \frac{106}{12}
7{,}75 < \sqrt{65} < 8{,}83
Bu sonuç bize şunu gösterir: Seçtiğimiz aralık 7{,}75 ile 8{,}83 arasında kaldığı sürece çözüm %100 kesin olur.
2. Neden Sadece 8 < \sqrt{65} < 9 Almak Yetmez?
- Alt sınır için: \sqrt{65} > 8 aldığımızda;12 \cdot 8 + 89 = 96 + 89 = 185 > 182Alt sınır (14) fazlasıyla sağlanır.
- Üst sınır için: Eğer üst sınırı doğrudan 9 alırsak;12 \cdot 9 + 89 = 108 + 89 = 197Fakat 197 > 195 olduğu için sonucun 15’ten küçük olduğunu garanti edemeyiz. Bu nedenle 9’dan daha dar bir üst sınıra ihtiyacımız vardır.
3. Hangi Üst Sınırı Almak En Doğrudur?
Soruda belirttiğin gibi 8 ile 8{,}30 (veya işlem kolaylığı açısından 8 ile 8{,}5) aralığını almak en kesin çözümdür:
- 8 < \sqrt{65}: 8^2 = 64 < 65 olduğu için kesinlikle doğrudur.
- \sqrt{65} < 8{,}5: (8{,}5)^2 = 72{,}25 > 65 olduğu için zihinden kolayca doğrulanır.
- \sqrt{65} < 8{,}3: (8{,}3)^2 = 68{,}89 > 65 olduğu için yine kesinlikle doğrudur.
Bu durumda:
8 < \sqrt{65} < 8{,}3 < 8{,}5 < 8{,}83
Şartımız olan \sqrt{65} < 8{,}83 eşitsizliği hem 8{,}30 hem de 8{,}50 sınırı ile fazlasıyla sağlandığından, boyun 14 ile 15 arasında olduğu kesinleşir.
Kareköklü ifadelerde yaklaşık değer bulurken pratik kare alma yöntemlerini (sonu 5 ile biten sayıların karesi gibi) incelemek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Evet, kesinlikle doğru.
Sonucun 14 ile 15 arasında çıkması için gereken tek matematiksel şart:
7{,}75 < \sqrt{65} < 8{,}83
Senin seçtiğin 8 < \sqrt{65} < 8{,}30 aralığı bu şartı fazlasıyla sağlar:
- Alt sınır (8 için): \frac{12 \cdot 8 + 89}{13} = \frac{185}{13} \approx 14{,}23
- Üst sınır (8{,}30 için): \frac{12 \cdot 8{,}3 + 89}{13} = \frac{188{,}6}{13} \approx 14{,}50
Her iki değer de 14 ile 15 arasında kaldığı için bu yaklaşım en kesin ve hatasız yöntemdir.
Benzer bir karekök tahmin sorusuyla pratik yapmak ister misin?