135^\circ Açısının Birim Çember Yardımıyla Trigonometrik Değerleri
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Birim Çember Tanımı: Yarıçapı r = 1 birim olan ve merkezi orijin (0,0) olan çemberdir. Çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları P(\cos\alpha, \sin\alpha) biçimindedir.
- 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni: Hipotenüs uzunluğu 1 birim olduğunda dik kenarların uzunluğu \frac{\sqrt{2}}{2} birim olur:\text{Kenar} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
- Trigonometrik Oranlar:
- \cos\alpha = x
- \sin\alpha = y
- \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{y}{x}
- \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{x}{y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Referans Açısını ve Üçgeni Belirleme
- 135^\circ açısı analitik düzlemin 2. bölgesinde yer alır.
- Açının x ekseninin negatif tarafı ile yaptığı dar açı (referans açısı):180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
- Şekildeki OKL dik üçgeninde \angle LOK = 45^\circ ve \angle OLK = 45^\circ olur.
Adım 2 — Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama
- Çember birim çember olduğu için hipotenüs uzunluğu |OL| = 1 birimdir.
- 45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgeni kuralına göre:|OK| = 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}|LK| = 1 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Adım 3 — L Noktasının Koordinatlarını Bulma
- L noktası 2. bölgede olduğundan x apsisi negatif, y ordinatı pozitiftir:L(x, y) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Adım 4 — Trigonometrik Değerleri Hesaplama
- \cos(135^\circ) = x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
- \sin(135^\circ) = y = \frac{\sqrt{2}}{2}
- \tan(135^\circ) = \frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1
- \cot(135^\circ) = \frac{\cos(135^\circ)}{\sin(135^\circ)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1
(Ek Bilgi: Soldaki 120^\circ açısı için aynı adımlarla 30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninden \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}, \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}, \cot(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} bulunur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- \sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
- \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
- \tan(135^\circ) = -1
- \cot(135^\circ) = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 2. Bölgede İşaret Dağılımı
- Tanım: 90^\circ < \alpha < 180^\circ aralığındaki açılarda x ekseni negatif, y ekseni pozitiftir.
- Bu problemde: \sin değeri pozitif (+), \cos, \tan ve \cot değerleri negatif (-) işaret almıştır.
2. Referans Açısı
- Tanım: Bir açının x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü en küçük dar açıdır.
- Bu problemde: 135^\circ açısının referans açısı 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olarak kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaretleri Unutmak
- Yanlış: \cos(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
- Doğru: \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
- Neden Yanlış: 135^\circ açısı 2. bölgede olduğundan apsis değeri negatiftir.
120^\circ açısının 30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeniyle detaylı birim çember adım çözümünü de görmek ister misin?
Kenarlar nasıl köklü ifade olarak çıktı
45^\circ-45^\circ-90^\circ Üçgeninde Kenar Uzunluklarının Köklü İfade Çıkışı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:a^2 + b^2 = c^2
- İkizkenar Dik Üçgen Kuralı: Açıları 45^\circ-45^\circ-90^\circ olan bir üçgende dik kenarlar birbirine eşittir (a = b).
- Paydayı Rasyonel Yapma: Kesirli bir ifadenin paydasında kök bırakmamak için pay ve payda aynı kök ile genişletilir:\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkizkenar Dik Üçgeni Kurma
- 135^\circ açısının referans açısı 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olduğundan üçgenin iç açıları 45^\circ, 45^\circ ve 90^\circ olur.
- İki açısı 45^\circ olduğu için bu üçgen bir ikizkenar dik üçgendir.
- Dolayısıyla dik kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her iki dik kenara da a diyelim:|OK| = a \quad \text{ve} \quad |LK| = a
Adım 2 — Birim Çember Yarıçapını (Hipotenüsü) Yerine Yazma
- Çizilen çember bir birim çember olduğu için yarıçap uzunluğu hipotenüse eşittir:|OL| = 1 \text{ birim}
Adım 3 — Pisagor Teoremini Uygulama
- Dik kenarların kareleri toplamını hipotenüsün karesine eşitleyelim:a^2 + a^2 = 1^22a^2 = 1a^2 = \frac{1}{2}
Adım 4 — Her İki Tarafın Karekökünü Alma
- Uzunluk negatif olamayacağı için her iki tarafın pozitif karekökü alınır:a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
Adım 5 — Paydayı Köklü İfadeden Kurtarma (Genişletme)
- Matematikte paydada kök bırakmamak için kesir \sqrt{2} ile çarpılır:a = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Dik kenar uzunlukları Pisagor bağıntısı (a^2 + a^2 = 1^2) sonucunda a = \frac{1}{\sqrt{2}} çıkar; payda \sqrt{2} ile genişletildiğinde kenar uzunluğu \frac{\sqrt{2}}{2} birim olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkizkenar Dik Üçgen (45^\circ-45^\circ-90^\circ) Özelliği
- Tanım: Dik kenarları a birim olan bir dik üçgenin hipotenüsü daima a\sqrt{2} birimdir.
- Bu problemde: Hipotenüs 1 birim verildiği için a\sqrt{2} = 1 \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} olarak bulunmuştur.
2. Paydanın Rasyonel Yapılması
- Tanım: Kesirlerin paydasındaki irrasyonel (köklü) sayıların rasyonel sayıya dönüştürülmesi işlemidir.
- Bu problemde: \frac{1}{\sqrt{2}} ifadesi \sqrt{2} ile genişletilerek standart gösterim olan \frac{\sqrt{2}}{2} elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hipotenüsü Dik Kenar ile Karıştırmak
- Yanlış: Kenara direkt 1 deyip hipotenüsü \sqrt{2} almak.
- Doğru: Birim çemberde hipotenüs yarıçaptır, yani kesinlikle 1 birimdir. Bu yüzden dik kenar 1’den küçük (\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707) çıkar.
- Neden Yanlış: Birim çember üzerindeki noktalar orijine en fazla 1 birim uzaklıkta olabilir.
Aynı mantıkla 120^\circ açısındaki 30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde \frac{1}{2} ve \frac{\sqrt{3}}{2} değerlerinin Pisagor ile nasıl çıktığını da adım adım görmek ister misin?