Soru:
x \in \mathbb{Z} ve 0 < a < 1 olmak üzere a^{x+3} > a^{2x-4} eşitsizliği veriliyor. Buna göre x'in en küçük değeri kaçtır?
Çözüm:
1. Verilen eşitsizlik:
a^{x+3} > a^{2x-4}
2. Bilgiler:
- a pozitif ve 0 < a < 1 aralığında.
- x tam sayı.
- a'nın 0 ile 1 arasında olması, a'nın bir kesir olduğunu ve üslerin büyüklüğüne göre ters orantılı olarak büyüdüğünü gösterir. Yani, üs büyüdükçe a^{\text{üs}} küçülür.
3. Üslerin karşılaştırılması:
Eğer 0 < a < 1 ise, a^m > a^n eşitsizliği için m < n olmalıdır. Çünkü üs büyüdükçe ifade küçülür.
Buradan:
x + 3 < 2x - 4
4. Eşitsizliği çözelim:
x + 3 < 2x - 4
Her iki taraftan x çıkaralım:
3 < x - 4
Her iki tarafa 4 ekleyelim:
3 + 4 < x
7 < x
Yani:
x > 7
5. x tam sayı olduğuna göre, x'in en küçük tam sayı değeri:
x = 8
Sonuç:
x'in en küçük değeri 8’dir.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Eşitsizlik verilmiş: a^{x+3} > a^{2x-4} | - |
| 2 | 0 < a < 1 olduğundan üsler ters orantılı | - |
| 3 | Üslerin karşılaştırılması: x+3 < 2x-4 | - |
| 4 | Eşitsizliği çözme: x > 7 | - |
| 5 | x tam sayı, en küçük x = 8 | x=8 |
Doğru cevap: B) 8
**Soru: x ∈ ℤ ve 0 < a < 1 olmak üzere
$$a^{,x+3} > a^{,2x-4}$$
eşitsizliği veriliyor. Buna göre x’in en küçük değeri kaçtır?**
İçindekiler
- Problemin Tanımı ve Amaç
- Üstel Fonksiyonların Temel Özellikleri
2.1. Tabanın Rolü
2.2. Artan ve Azalan Üstel Fonksiyonlar - Eşitsizlik Çözüm Adımları
3.1. Üslerin Karşılaştırılması
3.2. Cebirsel Dönüşümler
3.3. Tam Sayı Koşulu ve Sonuç - Örnekle Pekiştirme
- Özet Tablo
- Sonuç ve Cevap
1. Problemin Tanımı ve Amaç
Bu soruda x tam sayı (x ∈ ℤ) ve a reel sayı olup 0 < a < 1 koşulunu sağlıyor.
Verilen eşitsizlik:
Bize sorulan: x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?
Bu soruyu doğru çözebilmek için, öncelikle üstel fonksiyonların baz (taban) değerine göre artan mı yoksa azalan mı davranış sergilediğini bilmemiz gerekir.
2. Üstel Fonksiyonların Temel Özellikleri
Üstel fonksiyon genel formu f(t)=a^t ile ifade edilir.
Tabanın büyüklüğü, fonksiyonun grafik davranışını doğrudan etkiler:
2.1. Tabanın Rolü
- a > 1 ise üstel fonksiyon artandır:t_1 < t_2 \;\Longrightarrow\; a^{t_1} < a^{t_2}
- 0 < a < 1 ise üstel fonksiyon azalandır:t_1 < t_2 \;\Longrightarrow\; a^{t_1} > a^{t_2}
2.2. Artan ve Azalan Üstel Fonksiyonlar
- Artan fonksiyonlar grafik üzerinde soldan sağa yükselir.
- Azalan fonksiyonlar grafik üzerinde soldan sağa alçalır.
- Bu özellik, eşitsizlik çözümlerinde üslerin karşılaştırma yönünü belirler.
3. Eşitsizlik Çözüm Adımları
Verilen eşitsizlik:
Üstel fonksiyonun azalan olması (0<a<1) nedeniyle, üs karşılaştırması tersine döner.
3.1. Üslerin Karşılaştırılması
Azalan üstel fonksiyon için:
Burada E_1 = x+3, E_2 = 2x-4 olarak alınır. Sonuç olarak:
3.2. Cebirsel Dönüşümler
Elde edilen lineer eşitsizliği adım adım çözelim:
- Başlangıç:x + 3 < 2x - 4
- x terimlerini aynı tarafa toplamak için her iki tarafa -x ekleyelim:3 < x - 4
- Sabit terimleri düzenleyelim:3 + 4 < x7 < x
3.3. Tam Sayı Koşulu ve Sonuç
- x tam sayı olduğuna göre 7 < x koşulunu sağlayan en küçük tam sayı 8’dir.
- Bu nedenle, x’in en küçük tamsayısı 8’dir.
4. Örnekle Pekiştirme
Örnek olarak a=0.5 için x’deki davranışı inceleyelim:
- x=7 ⇒ Üsler: 7+3=10, 2\cdot7-4=10 ⇒ 0.5^{10}=0.5^{10} ⇒ Eşit, > değil
- x=8 ⇒ Üsler: 8+3=11, 2\cdot8-4=12 ⇒ 0.5^{11} > 0.5^{12} (çünkü 11<12) ⇒ Doğru
- x=9 ⇒ Üsler: 12 ve 14 ⇒ 0.5^{12} > 0.5^{14} ⇒ Doğru, ancak aranan “en küçük” x=8
Bu deney, teorik çözümü pekiştirir.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Başlangıç Eşitsizliği | a^{\,x+3} > a^{\,2x-4} | |
| 2. Azalan Üstel Fonksiyon | Üsler tersine karşılaştırılır | x+3 < 2x -4 |
| 3. Cebirsel Dönüşüm | x+3 < 2x-4 \;\Longrightarrow\;7 < x | |
| 4. Tam Sayı Koşulu | 7 < x ve x∈ℤ | x = 8 |
6. Sonuç ve Cevap
x ∈ ℤ ve 0 < a < 1 koşulunda
En küçük tam sayı değeri x = 8’dir.
Doğru seçenek B) 8.