Boyalı bölgenin çevresini ve alanını bul

Question Answer
1

boyalı bölgenin çevresini ve alanını bul

boyalı bölgenin çevresini ve alanını bul
boyalı bölgenin çevresini ve alanını bul800×859 45.6 KB

2

Daire Parçasının Çevresi ve Alanı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Yay Uzunluğu: s = r \cdot \theta (\theta radyan cinsinden)
  • Kiriş Uzunluğu (Kosinüs Teoremi): x^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(\theta) veya x = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
  • Daire Dilimi Alanı: A_{\text{dilim}} = \frac{1}{2} r^2 \theta
  • Üçgen Alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{1}{2} r^2 \sin(\theta)
  • Daire Parçası Alanı: A_{\text{parça}} = A_{\text{dilim}} - A_{\text{üçgen}} = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \overparen{AB} Yayının Uzunluğunu Bulma
Merkez açısı \theta = 0{,}7\text{ rad} ve yarıçapı r = 8\text{ cm} olan yayın uzunluğu hesaplanır:

|\overparen{AB}| = r \cdot \theta = 8 \cdot 0{,}7 = 5{,}6\text{ cm}

Adım 2 — AB Kirişinin Uzunluğunu (x) Hesaplama
Boyalı bölgeyi sınırlayan düz kenar olan AB kirişinin uzunluğu, ikizkenar üçgende trigonometri veya kosinüs teoremi ile bulunur:

x = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \cdot 8 \cdot \sin(0{,}35\text{ rad})
\sin(0{,}35\text{ rad}) \approx 0{,}3429
x \approx 16 \cdot 0{,}3429 \approx 5{,}49\text{ cm}

(Kosinüs teoremi ile sağlama: x = \sqrt{8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(0{,}7)} = \sqrt{128 - 128 \cdot 0{,}7648} \approx 5{,}49\text{ cm})

Adım 3 — Boyalı Bölgenin Çevresini Hesaplama
Boyalı bölgenin çevresi, \overparen{AB} yay uzunluğu ile AB kiriş uzunluğunun toplamıdır:

\text{Çevre} = |\overparen{AB}| + x = 5{,}6 + 5{,}49 = 11{,}09\text{ cm}

Adım 4 — Boyalı Bölgenin Alanını Hesaplama
Boyalı bölgenin alanı, OAB daire diliminin alanından OAB üçgeninin alanının çıkarılmasıyla elde edilir:

  1. Daire Diliminin Alanı:

    A_{\text{dilim}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot 0{,}7 = 32 \cdot 0{,}7 = 22{,}4\text{ cm}^2

  2. OAB Üçgeninin Alanı:

    A_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(0{,}7\text{ rad}) = 32 \cdot 0{,}6442 \approx 20{,}61\text{ cm}^2

  3. Boyalı Bölgenin Alanı:

    A = A_{\text{dilim}} - A_{\triangle OAB} = 22{,}4 - 20{,}61 = 1{,}79\text{ cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • Çevre: \mathbf{\approx 11{,}09\text{ cm}} (veya yaklaşık \mathbf{11{,}1\text{ cm}})
  • Alan: \mathbf{\approx 1{,}79\text{ cm}^2}
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Daire Parçası (Segment): Bir çemberde bir kiriş ile bu kirişin ayırdığı yay arasında kalan bölgedir.
  • Radyan Cinsinden Alan ve Yay: Açı radyan cinsinden verildiğinde dereceye çevirmeye gerek kalmadan doğrudan r\theta ve \frac{1}{2}r^2\theta bağıntıları kullanılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Hesap makinesinde \sin(0{,}7) veya \cos(0{,}7) hesaplarken makineyi Derece (DEG) modunda bırakmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Açı üzerinde derece işareti (^\circ) yoksa değer radyandır; bu nedenle hesap makinesi mutlaka Radyan (RAD) moduna alınmalıdır.

Benzer bir daire parçası sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?