- Rakamları farklı beş basamaklı 9A4B6 sayısı 22 ile tam
bölünebildiğine göre, A-B çarpimının en büyük değeri
kaçtır?
A) 30
B) 28
C) 24
D) 15
E) 12
Rakamları Farklı Beş Basamaklı 9A4B6 Sayısının 22 ile Bölünebilmesi ve A \cdot B Çarpımı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının 22 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 2 ve 11 sayılarına tam bölünmesi gerekir:
- 2 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağındaki rakam çift olmalıdır.
- 11 ile Bölünebilme: Sayının rakamları birler basamağından başlanarak sola doğru sırasıyla +,-,+,-,+ işaretleriyle çarpılıp toplanır. Elde edilen sonucun 11’in bir tam katı (11k, k \in \mathbb{Z}) olması gerekir.
- Rakamları Farklı Koşulu: Sayıda kullanılan \{9, 4, 6\} rakamları A veya B olamaz ve A \neq B olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 2 ile Bölünebilme Kuralının İncelenmesi
9A4B6 sayısının birler basamağındaki rakam 6’dır. 6 çift bir sayı olduğundan, A ve B’nin tüm değerleri için sayı 2 ile tam bölünür.
Adım 2 — 11 ile Bölünebilme Kuralının Uygulanması
Sayının basamaklarını sağdan sola doğru işaretleyelim:
\overset{+}{9}\;\overset{-}{A}\;\overset{+}{4}\;\overset{-}{B}\;\overset{+}{6}
İşaretli toplamı hesaplayalım:
(+6) + (-B) + (+4) + (-A) + (+9) = 19 - (A + B)
Bu sonucun 11’in katı olması gerekir:
19 - (A + B) = 11k
A ve B birer rakam olduğu için 0 \le A + B \le 18 aralığındadır:
- k = 1 için: 19 - (A + B) = 11 \implies A + B = 8
Adım 3 — Rakamları Farklı Koşuluna Göre (A, B) İkililerinin Belirlenmesi
Sayıdaki mevcut rakamlar: \{9, 4, 6\}.
Dolayısıyla A, B \notin \{9, 4, 6\} ve A \neq B olmalıdır. Toplamı 8 olan rakam çiftlerini inceleyelim:
- A + B = 4 + 4 \rightarrow 4 rakamı zaten kullanıldığı ve A \neq B olduğu için sağlamaz.
- A + B = 6 + 2 \rightarrow 6 rakamı birler basamağında kullanıldığı için sağlamaz.
- A + B = 5 + 3 \rightarrow 5 ve 3 sayıdaki diğer rakamlardan farklıdır, sağlar. (A \cdot B = 5 \times 3 = 15)
- A + B = 7 + 1 \rightarrow 7 ve 1 sayıdaki diğer rakamlardan farklıdır, sağlar. (A \cdot B = 7 \times 1 = 7)
- A + B = 8 + 0 \rightarrow 8 ve 0 sayıdaki diğer rakamlardan farklıdır, sağlar. (A \cdot B = 8 \times 0 = 0)
Adım 4 — En Büyük Çarpım Değerinin Hesaplanması
Elde edilen geçerli çarpımlar \{15, 7, 0\} arasından en büyük değer:
A \cdot B = 5 \times 3 = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 11 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Sayının basamakları sağdan sola doğru +,-,+,-,\dots şeklinde gruplandırılarak toplanır.
- Bu problemde: 19 - (A + B) ifadesinin 11’in katı olması incelenerek A + B = 8 eşitliğine ulaşıldı.
2. Rakamları Farklı Şartı
- Tanım: Bir sayıdaki tüm basamak değerlerinin birbirinden farklı olması durumudur.
- Bu problemde: \{4, 4\} ve \{6, 2\} ikilileri, 4 ve 6 rakamları sayıda zaten yer aldığı için elendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Rakamları Farklı Şartını Unutmak
- Yanlış: A=4 ve B=4 seçilerek A \cdot B = 16 veya A=6, B=2 seçilerek A \cdot B = 12 gibi değerlere yönelmek.
- Doğru: Sayıda 4 ve 6 rakamları zaten bulunduğu için A ve B bu değerleri alamaz.
- Neden yanlış: Soru kökündeki “rakamları farklı” şartı ihlal edilmiş olur.
Bu tip bölünebilme kuralları içeren benzer bir TYT sorusuyla konuyu pekiştirmek ister misin?