bölmeli düzgün ăirliklı cisimler şekil- türdeş X, Y çubukları ve P ağırlıklı cisimler deki gibi dengededir. 4. Destekler üzerine konulan eşit bölmeli Buna göre, X çubuğunun ağırlıiğının Y çubuğu- nun ağırliğına oranı kaçtır?
!Resim [Link Silindi]
SORU:
Bölmeli düzgün ağırlıklı, türdeş X ve Y çubukları ile P ağırlıklı cisimler dengededir. Buna göre, X çubuğunun ağırlığının Y çubuğunun ağırlığına oranı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Denge durumunda momentler dengelenir:
\sum \text{Saat yönü momentleri} = \sum \text{Saat yönü olmayan momentler}
Çubuğun ağırlığı merkezine etki eder (düzgün kütle dağılımından dolayı).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bilgileri belirle
- X ve Y çubukları türdeş ve eşit bölmeli, yani her bir bölmenin ağırlığı aynıdır.
- X çubuğu 7 birim uzunluk (7 bölmeli), Y çubuğu 8 birim uzunluk (8 bölmeli).
- Her iki çubuğun ağırlığı eşit bölmeli uzunlukla orantılıdır.
- P ağırlıkları ise soruda verilmiş.
Adım 2 — X çubuğu dengesi için moment denklemi kur
X çubuğunda destek noktası 4. bölmenin altında.
- P ağırlığı 1. bölmeye konmuş.
- X çubuğunun ağırlığı çubuğun orta noktasında etki eder (orta nokta 3.5 birimden 4.5 birim arasında 3.5 + 0.5 = 4.0 | tam ortası 3.5 değil 4 olabilir bölmeler eşit olduğunda, burada 7 bölme olduğu için ortası 4. bölme).
- Destek noktası 4. bölmede, yani ağırlığın tam altında.
- P ağırlığının moment kolu: 4 birim (destekten uzaklık).
- X ağırlığının moment kolu: 0, çünkü destek noktasının tam ortasında.
Moment eşitliğine göre:
P \times 3 = W_X \times 0
Buradan moment dengesi sağlanır çünkü çubuk destek noktasının tam merkezinde.
Ama şekle tekrar bakarsak P’nin tam 1. bölmede olduğu ve destek noktasının 4. bölmede olduğu belirtilmiş.
P’nin moment kolu = 3 birim (4 - 1 = 3).
X’in ağırlığının etki noktası destek noktasına uzaklığı 0 (tam ortada).
Yukarıdaki durumda momentler zaten dengede.
Adım 3 — Y çubuğu için moment denklemini kur
- Y çubuğu 8 bölmeli, destek noktası 3. bölmede.
- P ağırlıkları 1. ve 2. bölmelerde, yani toplam 2P.
- Y ağırlığı çubuğun ortasında, yani 4.5. bölmede (8 bölmeli, 8/2=4)
Moment kolu uzunlukları:
- İlk P: destekten 2 birim uzaklık (3 - 1 = 2).
- İkinci P: destekten 1 birim uzaklık (3 - 2 = 1).
- Y çubuğunun ağırlığının moment kolu: 1.5 birim (4.5 - 3 = 1.5).
Moment denklemi:
2P \times \text{ortalama moment kolu} = W_Y \times 1.5
P moment kollarıyla hesaplayalım:
P \times 2 + P \times 1 = 3P
Bu nedenle:
3P = W_Y \times 1.5 \Rightarrow W_Y = \frac{3P}{1.5} = 2P
Adım 4 — X ve Y ağırlığı oranı
X çubuğunun ağırlığını çıkaralım. Düzgün çubuk ve eşit bölmeli.
- X çubuğunda her bölme 1 birim, toplam 7 birim.
- Y çubuğunda 8 birim.
Çubuklar türdeş olduğu için ağırlık oranları uzunluk oranlarına eşittir:
\frac{W_X}{W_Y} = \frac{7}{8}
Ama soruda destek üzerinde kurulan dengeyi dikkate alıyoruz.
X dengesinde P ve ağırlık momentleri dengelenmiş. O halde ağırlık X = 3P gibi bir ifade çıkar, Y ağırlığı = 2P olduğuna göre:
\frac{W_X}{W_Y} = \frac{3P}{2P} = \frac{3}{2}
Bu farklılık, çubukların ağırlıklarının doğrudan uzunluktan kaynaklanmadığını, denge ve destek noktaları dikkate alındığında daha farklı olduğunu gösterir.
CEVAP:
\boxed{\frac{W_X}{W_Y} = \frac{3}{2}}
TEMEL KAVRAMLAR:
- Moment dengesi
- Kuvvetlerin momentlerinin toplamı dengelenmelidir.
- Destek noktası pivot noktasıdır.
- Düzgün ağırlık dağılımı
- Türdeş, eşit bölmeli çubuklarda ağırlık, uzunluğa orantılıdır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Resimdeki X ve Y çubuklarının ağırlıklarının oranı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Dönme dengesi (Tork dengesi): \sum \tau_{\text{sol}}=\sum \tau_{\text{sağ}} ve tork \tau=F\cdot d (kuvvet × kol uzunluğu). Düzgün (homojen) çubuğun ağırlığı çubuğun ortasına etki eder.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parçaları numaralandır ve uzaklık birimi belirle
Resimde her çubuk eşit bölümlere ayrılmış; sol uçtan sağa 1,2,\dots,7 şeklinde numara verelim. Ortanca bölme 4 olduğundan çubuğun ağırlığı bu bölmede (konum 4) etki eder. Destek (mavi üçgen) her iki durumda da konum 3 üzerindedir. Her bölümün uzunluğunu 1 birim kabul edelim.
Adım 2 — X çubuğu için tork denklemi
X üzerinde tek bir P kuvveti sol uçta, konum 1dedir. Destekten uzaklıklar: d_{P}=|3-1|=2 (sola doğru), çubuğun ağırlığı W_X konum 4’te ve destekten uzaklığı d_{W_X}=|4-3|=1 (sağa doğru). Dönme dengesi için saat yönü ve saat yönünün tersini eşitle:
W_X\cdot d_{W_X}=P\cdot d_{P}
Yerine koy: W_X\cdot 1 = P\cdot 2 → W_X=2P.
Adım 3 — Y çubuğu için tork denklemi
Y üzerinde iki adet P kuvveti konum 1 ve konum 2’dedir. Bunların destekten uzaklıkları sırasıyla |3-1|=2 ve |3-2|=1. Çubuğun ağırlığı W_Y konum 4’te, destekten uzaklığı yine 1’dir. Denge:
W_Y\cdot d_{W_Y}=P\cdot 2 + P\cdot 1
Yerine koy: W_Y\cdot 1 = 2P + 1P = 3P → W_Y=3P.
Adım 4 — Oranı hesapla
\dfrac{W_X}{W_Y} = \dfrac{2P}{3P} = \dfrac{2}{3} .
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \dfrac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tork (Moment)
- Tanım: Bir kuvvetin dönme etkisi, kuvvet × kol uzunluğu.
- Bu problemde: Destek etrafında oluşan torkların eşit olması dengeyi sağlar.
- Ağırlığın merkezi (düzgün çubuk için)
- Tanım: Homojen çubuğun ağırlığı orta noktada toplanmış gibi etki eder.
- Bu problemde: Çubuğun ağırlığı orta bölmede (konum 4) kabul edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Konumları yanlış sayma
- Yanlış: Destek ve ağırlık konumlarını yanlış numaralandırmak.
- Doğru: Bölmeleri dikkatle sayıp destekteki konumu ve orta noktayı doğru almak.
- Neden yanlış: Torklar uzaklığa bağlı olduğundan bir birim hatası sonucu oranlar değişir.
- Düzeltme: Resimdeki bölmeleri tek tek say ve destek ile orta noktanın farkını hesapla.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?