Bölme - bölünebilme

KPSS
,
1

@sorumatikbot

!1000025393|690x210 [Link Silindi]

2

Soru: 3a4b sayısının 13 ile bölümünden kalan 7’dir. 4a2b sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?

İçindekiler

  1. Problemin İncelenmesi
  2. Genel Sayı İfadeleri ve Modüler Aritmetik
  3. Denklemin Kurulması
  4. Yeni Sayının Kalanının Bulunması
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. Problemin İncelenmesi

Elimizde iki dört basamaklı sayı var:

  • 3a4b sayısının 13 ile bölümünden kalan 7
  • 4a2b sayısının 13 ile bölümünden kalanını bulmamız isteniyor

Burada a ve b basamakları aynı, sadece diğer rakamlar farklı.

2. Genel Sayı İfadeleri ve Modüler Aritmetik

  • 3a4b sayısı ondalıkta
    3a4b = 3\cdot10^3 + a\cdot10^2 + 4\cdot10 + b = 3000 + 100a + 40 + b

  • 4a2b sayısı ondalıkta
    4a2b = 4\cdot10^3 + a\cdot10^2 + 2\cdot10 + b = 4000 + 100a + 20 + b

Mod 13’e indirgeme işlemlerinde:

  • 3000 \bmod13 = 3042 - 2 \equiv -2 \equiv 11
  • 4000 \bmod13 = 4017 + 3 \equiv 3
  • 100 \equiv 9 \pmod{13}

3. Denklemin Kurulması

3a4b sayısının kalanı 7 olduğuna göre:

3000 + 100a + 40 + b \equiv 7 \pmod{13}

Yerine koyarsak:

11 + 9a + b \equiv 7 \pmod{13} \quad\Longrightarrow\quad 9a + b \equiv 7 - 11 \equiv -4 \equiv 9 \pmod{13}

Bulduğumuz birinci denklem:
9a + b \equiv 9 \pmod{13}

4. Yeni Sayının Kalanının Bulunması

4a2b sayısının mod 13 ifadesi:

4000 + 100a + 20 + b \equiv 3 + 9a + b \pmod{13}

Burada b \equiv 9 - 9a \pmod{13} olduğundan:

3 + 9a + (9 - 9a) = 3 + 9 = 12 \pmod{13}

Sonuç: 4a2b sayısının 13 ile bölümünden kalan 12’dir.

5. Özet Tablo

Sayı Ondalık İfade Mod 13 İndirgeme Kalan
3a4b 3000 + 100a + 40 + b 11 + 9a + b \equiv 7 –
Denklemler – 9a + b \equiv 9 –
4a2b 4000 + 100a + 20 + b 3 + 9a + b \equiv 12 12

6. Sonuç

  • 3a4b sayısından elde ettiğimiz modüler denklemle 9a + b \equiv 9 bulundu.
  • Bunu 4a2b sayısına uygulayıp mod 13 hesabı yaptık.
  • Elde edilen 12 kalanı tüm geçerli basamaklar için aynıdır.

Cevap: 12

@PixelMan_TV

3

Soru: 3a4b sayısının 13 ile bölümünden kalan 7’dir. 4a2b sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Burada elimizde iki sayı var:

  • 3a4b
  • 4a2b

a ve b rakamları bilinmeyen (0-9 arasında tam sayı) sayılar.

İlk sayı (3a4b) 13 ile bölündüğünde kalan 7’dir.

Bizden ikinci sayı (4a2b) 13 ile bölündüğünde kalanın ne olduğunu bulmamız isteniyor.

1. Adım: Sayıların değerlerini açalım

3a4b sayısı, rakamlarının yerine sayılar gelince aşağıdaki gibi sayısal değere sahiptir:

3a4b = 3000 + 100a + 40 + b = 3040 + 100a + b

Benzer şekilde:

4a2b = 4000 + 100a + 20 + b = 4020 + 100a + b

2. Adım: İlk sayı için kalan bilgisi

İlk sayı 13 ile bölünüp kalan 7 olduğu için:

3040 + 100a + b \equiv 7 \pmod{13}

Bunu sadeleştirelim.

3. Adım: Mod 13 hesaplamaları

Öncelikle sabit sayılar için mod 13 işlemini yapalım.

  • 3040 \mod 13 nedir?

Bunu hesaplayalım:

13 \times 233 = 3029 (çünkü 13 \times 230 = 2990, + 3 × 13 = 39 → 2990 + 39 = 3029)

3040 - 3029 = 11

Yani:

3040 \equiv 11 \pmod{13}

4. Adım: 100a \mod 13

$100 \mod 13$’ü bulalım:

13 \times 7 = 91, kalan 9.

Yani:

100 \equiv 9 \pmod{13}

Dolayısıyla,

100a \equiv 9a \pmod{13}

5. Adım: b \mod 13

b zaten rakam (0-9), kendisi mod 13 içinde aynıdır.

6. Adım: Kalan eşitliği yazalım

3040 + 100a + b \equiv 7 \pmod{13}

Yukarıdaki hesaplara göre:

11 + 9a + b \equiv 7 \pmod{13}

Buradan:

9a + b \equiv 7 - 11 \equiv -4 \equiv 9 \pmod{13}

Çünkü, -4 \mod 13 = 13 - 4 = 9

Yani:

9a + b \equiv 9 \pmod{13} \quad (1)

7. Adım: İkinci sayı için kalan değerini bulalım

İkinci sayı:

4a2b = 4020 + 100a + b

4020 \mod 13'ü hesaplayalım:

13 \times 309 = 4017 (13x300=3900, + 9x13=117, 3900+117=4017)

4020 - 4017 = 3

Yani:

4020 \equiv 3 \pmod{13}

Önceden bildiğimiz gibi:

100a \equiv 9a \pmod{13}

Ve b \equiv b \pmod{13}.

Toparlarsak:

4020 + 100a + b \equiv 3 + 9a + b \pmod{13}

8. Adım: Yerine koyma

(1) den 9a + b \equiv 9 \pmod{13} olduğunu biliyoruz.

Bunu kullanarak kalan:

3 + (9a + b) \equiv 3 + 9 \equiv 12 \pmod{13}

Cevap:

4a2b sayısının 13 ile bölümünden kalan 12’dir.

Özet Tablosu

İfade Sayısal Değer Mod 13 Kalanı Notlar
3a4b 3040 + 100a + b 11 + 9a + b \equiv 7 Buradan 9a + b \equiv 9
4a2b 4020 + 100a + b 3 + 9a + b 3 + 9 \equiv 12

@PixelMan_TV