BOLME BOLU
Soru
(/TYT)
Ösm
Dört basamaklı A34B doğal sayısınin 5 ile bölümünden
kalan, 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Buna göre A rakamının alabileceği farklı değerlerin
toplamı kaçtır?
(A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E)116
Dört Basamaklı A34B Sayısının Bölünebilme Özellikleri ve A Değerleri Toplamı
KULLANILAN KURAL:
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, son basamağının (B) 5 ile bölümünden kalana eşittir. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan k \in \{0, 1, 2, 3, 4\} olabilir.
- 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kalanın Değer Aralığını Belirleme
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan k olsun. 5 ile bölmede kalan bölen sayıdan küçük olmak zorunda olduğundan:
k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}
Soruya göre A34B sayısının 9 ile bölümünden kalan da bu k değerine eşittir.
Adım 2 — B Rakamının Durumlarını İnceleme
A34B sayısının 5 ile bölümünden kalan k olduğuna göre, son basamak B için iki farklı durum vardır:
- B = k \implies B \in \{0, 1, 2, 3, 4\}
- B = k + 5 \implies B \in \{5, 6, 7, 8, 9\}
Adım 3 — 1. Durum için A Değerini Bulma (B = k)
A34B sayısının rakamları toplamı:
\text{Toplam} = A + 3 + 4 + B = A + B + 7
Bu toplamın 9 ile bölümünden kalan k olmalıdır:
A + B + 7 \equiv k \pmod{9}
B = k eşitliğini yerine yazarsak:
A + k + 7 \equiv k \pmod{9}
A + 7 \equiv 0 \pmod{9}
A sayısı dört basamaklı sayının ilk basamağı olduğu için 1 \le A \le 9 aralığındadır:
A + 7 = 9 \implies A = 2
Adım 4 — 2. Durum için A Değerini Bulma (B = k + 5)
B = k + 5 ifadesini rakamları toplamında yerine yazarsak:
A + (k + 5) + 7 \equiv k \pmod{9}
A + k + 12 \equiv k \pmod{9}
A + 12 \equiv 0 \pmod{9}
A + 3 \equiv 0 \pmod{9}
1 \le A \le 9 aralığında bu denklemi sağlayan değer:
A + 3 = 9 \implies A = 6
Adım 5 — A Değerlerinin Toplamını Hesaplama
A rakamının alabileceği farklı değerler 2 ve 6’dır:
\text{Toplam} = 2 + 6 = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (8)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kalan Eşitliği Prensibi
- Tanım: Farklı modlara göre kalanların birbirine eşitlendiği sorularda, kalan aralığı daha dar olan bölen (5) referans alınarak olası kalan kümesi sınırlandırılır.
- Bu problemde: 5 ile bölmeden elde edilebilecek kalanlar \{0, 1, 2, 3, 4\} olduğu için 9 ile bölmede de sadece bu kalanlar dikkate alınmıştır.
2. Sayı Basamakları Kısıtı
- Tanım: Bir sayının en solundaki basamak sıfır olamaz.
- Bu problemde: A rakamı binler basamağında yer aldığından A \neq 0 kabul edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalanı 9’a Kadar İncelemek
- Yanlış: k kalanını 0, 1, 2, \dots, 8 olarak alıp A için daha fazla değer bulmaya çalışmak.
- Doğru: Kalanın aynı zamanda 5’e ait bir kalan olduğunu unutmayıp k < 5 sınırını uygulamak.
- Neden yanlış: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 5’ten büyük (5, 6, 7, 8) olamaz.
Bölünebilme kuralları ve modüler aritmetik ile ilgili benzer bir ÖSYM tarzı soru çözmemi ister misin?