T6) Şekil 1’de verilen ABCD vamuğu bicimindeki özdes citalardan dört tanesi aralarnda
boçluk birakılmadan birlestirilerek Sekil 2’deki aibi resim çerçevesi yapimigtir.
|AD|= 8 cm, JDOc|= 20 cm ve lCB|=6 cm olarak verilmiştir.
20
şekil 1
Şelil 2
Buna göre resim yerleştirmek için ayrılan bölgenin alanının kaç cm olduğunu b
nra vüzü mavi renkli ABCD yamuğu biçimindeki kağıt: [BD]b
ilmektedir. 2 \AB=5|
Resim Çerçevesi İç Bölge Alanı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Yamukta Paralel Çizme Kuralı: Yan kenarlardan birine paralel çizilerek paralelkenar ve üçgen oluşturulur.
- Özel Dik Üçgen (6-8-10): a^2 + b^2 = c^2
- Üçgende Alan ve Yükseklik Bağıntısı: a \cdot b = c \cdot h
- Yamuğun Alanı: \text{Alan} = \dfrac{a + c}{2} \cdot h
- Bölge Alanı: \text{Alan}(\text{İç Bölge}) = \text{Alan}(\text{Dış Kare}) - 4 \cdot \text{Alan}(\text{Yamuk})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çerçevenin Köşe Açılarını ve Yamuğun Taban Açılarını Belirleme
Şekil 2’deki resim çerçevesinin dış kenarları bir kare oluşturmaktadır ve her bir köşesi 90^\circ’dir. Her köşede bir çıtanın \widehat{A} açısı ile diğer çıtanın \widehat{B} açısı birleştiğinden:
m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ
Adım 2 — Yamuğun Alt Taban Uzunluğunu (|AB|) Bulma
C köşesinden [AD] kenarına paralel bir [CE] doğru parçası çizelim (E \in [AB]).
- AECD bir paralelkenar olur; dolayısıyla |AE| = |DC| = 20\text{ cm} ve |CE| = |AD| = 8\text{ cm} olur.
- [CE] \parallel [AD] olduğundan yöndeş açılardan m(\widehat{CEB}) = m(\widehat{A}) olur.
- CEB üçgeninde iç açılar toplamından:m(\widehat{CEB}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ \implies m(\widehat{ECB}) = 90^\circ
- CEB dik üçgeninde |CE| = 8\text{ cm} ve |CB| = 6\text{ cm} olduğundan, 6-8-10 özel dik üçgeni gereği:|EB| = 10\text{ cm}
- Buradan yamuğun alt tabanı (|AB|):|AB| = |AE| + |EB| = 20 + 10 = 30\text{ cm}
Adım 3 — Yamuğun Yüksekliğini (h) ve Bir Çıtanın Alanını Hesaplama
CEB dik üçgeninde öklid/alan bağıntısından yararlanarak hipotenüse ait yüksekliği (h) bulalım:
|CE| \cdot |CB| = |EB| \cdot h \implies 8 \cdot 6 = 10 \cdot h \implies h = 4{,}8\text{ cm}
Bu yükseklik aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir. Bir çıtanın alanı:
\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot h = \frac{30 + 20}{2} \cdot 4{,}8 = 25 \cdot 4{,}8 = 120\text{ cm}^2
Adım 4 — 4 Çıtanın Toplam Alanı ve Dış Karenin Alanı ile Resim Alanını Bulma
- Çerçevenin dış kenarı yamuğun alt tabanına eşittir (a = 30\text{ cm}).\text{Alan}(\text{Dış Kare}) = 30^2 = 900\text{ cm}^2
- Çerçeveyi oluşturan 4 özdeş çıtanın toplam alanı:4 \cdot \text{Alan}(ABCD) = 4 \cdot 120 = 480\text{ cm}^2
- Resim yerleştirmek için ayrılan iç bölgenin alanı:\text{Alan}(\text{Resim}) = \text{Alan}(\text{Dış Kare}) - \text{Çıtaların Toplam Alanı}\text{Alan}(\text{Resim}) = 900 - 480 = 420\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 420\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Açıları Toplamı 90^\circ Olan Yamuk: Yan kenarlardan birine paralel çizilerek her zaman bir dik üçgen (6-8-10) elde edilir.
- Bütün - Parça İlişkisi: Düzensiz veya karmaşık iç bölgelerin alanını doğrudan bulmak yerine; tüm alandan bilinen parçaların alanını çıkarmak en pratik yoldur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İçteki boşluğun kenarını doğrudan üst taban olan |DC| = 20\text{ cm} kabul edip alanı 20 \times 20 = 400\text{ cm}^2 almak.- Doğru Yaklaşım: Yamuk ikizkenar olmadığı için (8 \neq 6) çıtaların içe ve dışa taşma miktarları farklıdır; bu nedenle iç bölgenin kenarları doğrudan 20\text{ cm} olmaz. Alanı tüm alandan çıtaların alanını çıkararak bulmak gerekir.
Yamukta taban açıları toplamının 90^\circ verildiği benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?