Bjvhvhvhf

[Selin_Celik (Selin Çelik)]

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

f(x) ikinci dereceden polinom olmak üzere, limit değerleri verilmiş. Buna göre limitin değeri nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Limitlerde polinomlarda payda ve payın sıfıra gitmesi durumunda polinomların köklerini bulup sadeleştirme yapılır.
• Derecesi 2 olan polinom için f(x) = ax^2 + bx + c olarak alabiliriz.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinom ve limit ifadelerinin yazılması
f(x) = ax^2 + bx + c olsun.
Verilen limitler:

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 8

\lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x+2} = -8

Adım 2 — Paydanın sıfır olduğu sınır noktalarında limitin var olması için pay da sıfır olmalı

• x=2 için x-2=0 , o halde f(2)=0 .
• x=-2 için x+2=0 , o halde f(-2)=0 .

Adım 3 — f(2) = 0 ve f(-2) = 0 denklemlerini yaz

f(2) = 4a + 2b + c = 0

f(-2) = 4a - 2b + c = 0

Adım 4 — Limit ifadelerinden yeni denklemler çıkar

Limit ifadelerinde f(x) payı (x-2)(x+2) yani (x^2 - 4) çarpanını içermelidir. Payda ile payda sıfıra gittiği için, f(x) = (x-2)(x+2)g(x) , burada g(x) birinci dereceden polinomdur.

Bu durumda:

\frac{f(x)}{x-2} = (x+2)g(x)

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)g(x) = 8

g(2) = k ise;

(2+2)k = 4k = 8 \implies k = 2

Benzer şekilde,

\frac{f(x)}{x+2} = (x-2)g(x)

\lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x+2} = \lim_{x \to -2} (x-2)g(x) = -8

g(-2) = m ise;

(-2 - 2) m = -4 m = -8 \implies m = 2

Buradan g(2) = 2 ve g(-2) = 2 bulunur.

Adım 5 — g(x) polinomunu bulalım

g(x) birinci dereceden polinom olsun:

g(x) = px + q

g(2) = 2p + q = 2
g(-2) = -2p + q = 2

Bu iki denklemi çıkaralım:

(2p + q) - (-2p + q) = 2 - 2

4p = 0 \implies p = 0

p=0 ise,
2p + q = q = 2

Yani g(x) = 2 .

Adım 6 — Böylece

f(x) = (x-2)(x+2) \cdot 2 = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8

Adım 7 — Soruda istenen limiti hesaplayalım:

\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x^2 - 2x}

Öncelikle f(x+2) değerini bulalım:

f(x+2) = 2(x+2)^2 - 8 = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 = 2x^2 + 8x + 8 - 8 = 2x^2 + 8x

Şimdi limit:

\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 8x}{x^2 - 2x}

Pay ve paydayı sadeleştirmek için ifadeyi inceleyelim:

= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 8x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 8x}{x(x - 2)}

Payda ve payda ortak x var, x \neq 0 için sadeleştirelim:

= \lim_{x \to 0} \frac{2x + 8}{x - 2}

x \to 0 için yerine koyalım:

= \frac{2(0) + 8}{0 - 2} = \frac{8}{-2} = -4

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sinav_Rehberi (YKS ve LGS Sınav Rehberi)]

f(x) ikinci dereceden bir polinom olmak üzere, \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=8 ve \displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{f(x)}{x+2}=-8 veriliyor. Buna göre \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x+2)}{x^2-2x} kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Polinom f için \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=L ise Tanım: f(a)=0 ve Bu problemde: L=f'(a) (çünkü f(x)=(x-a)g(x) ve g(a)=f'(a)).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kökleri ve türev değerlerini belirle
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=8 olduğuna göre f(2)=0 ve f'(2)=8.
\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{f(x)}{x+2}=-8 olduğuna göre f(-2)=0 ve f'(-2)=-8.

Adım 2 — Polinomun genel biçimini yaz
İkinci dereceden ve x=2,\,-2 kökleri olduğuna göre f(x)=k(x-2)(x+2)=k(x^2-4) for some constant k.

Adım 3 — k değerini türevten bul
f'(x)=k\cdot 2x.
f'(2)=2k\cdot 2 = 4k.
Verilen f'(2)=8 olduğuna göre 4k=8 → k=2.

Adım 4 — f(x) fonksiyonunu yaz ve istenen limiti hesapla
f(x)=2(x^2-4)=2x^2-8.
f(x+2)=2(x+2)^2-8 = 2(x^2+4x+4)-8 = 2x^2+8x+8-8 = 2x^2+8x.
Payda: x^2-2x = x(x-2).
Böylece \displaystyle \frac{f(x+2)}{x^2-2x}=\frac{2x^2+8x}{x^2-2x}=\frac{2x(x+4)}{x(x-2)}=\frac{2(x+4)}{x-2} (x ≠ 0 için sadeleştirdik).
Limit alalım: \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2(x+4)}{x-2}= \frac{2(0+4)}{0-2} = \frac{8}{-2} = -4.

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Polinom kökü

• Tanım: Bir polinomun a noktasında değeri sıfırsa a köktür.
• Bu problemde: f(2)=0 ve f(-2)=0.

2. Türev ile limit ilişkisi

• Tanım: \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=f'(a) eğer f(a)=0.
• Bu problemde: Bu ilişki f'(2)=8, f'(-2)=-8 elde etmek için kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

Sadeleştirme Hatası

• Yanlış: x faktörünü her zaman iptal etmek (limit noktasında x=0 olabilir).
• Doğru: Önce ifadeyi cebirsel olarak sadeleştirip sonra limite gitmek; özellikle tanım noktasında pay ve paydanın aynı kökü paydanın sıfır yapmadığı durumlara dikkat etmek.
• Neden yanlış: Eğer sadeleştirme sırasında sıfır bölmeye sebep olursanız geçersiz bir işlemdir.
• Düzeltme: Sadeleştirme yapıldıktan sonra limit noktasına yaklaşarak sonucu değerlendirin.

CEVAP: (-4**

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?