SORU:
a, b, c, d ve e gerçek sayılar ve f, 3. dereceden bir polinom fonksiyonu olmak üzere, verilen grafikte f(x) ve f’(x) işaretlerine bakarak f(x) \cdot f'(x) < 0 eşitsizliğinin hangi aralıklarda sağlandığı soruluyor: (a, b), (b, c), (d, e).
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
f(x) \cdot f'(x) < 0 eşitsizliği, f(x) ve türevinin işaretlerinin zıt olduğu aralıklarda sağlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun ve türevinin işaretlerini belirle
- Grafik, f(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar: a, c, e
- Grafik, f(x)'in ekstremum noktalarının (türevinin sıfır olduğu yerler) abscissaları: b, d
- f’(x), y’nin eğimidir. Eğimin pozitif ya da negatif olduğu aralıkları yorumlayacağız.
Adım 2 — (a, b) aralığı incelemesi
- a noktası: f(x) = 0 (x eksenini kesiş)
- a ile b arasında:
- f(x) > 0 (fonksiyon grafiği x ekseninin üstünde)
- b noktası: f’(x) = 0 (extremum noktası)
- a ile b arasında türev işareti pozitif (grafik yükseliyor)
- Yani: f(x) > 0, f’(x) > 0 → f(x) \cdot f'(x) > 0 , Eşitsizlik sağlanmaz.
Adım 3 — (b, c) aralığı incelemesi
- b ile c arasında:
- f(x) > 0 (grafik hala üstte)
- f’(x) < 0 (grafik azalarak c’ye doğru iniyor)
- Yani: f(x) > 0, f’(x) < 0 → f(x) \cdot f'(x) < 0 , Eşitsizlik sağlanır.
Adım 4 — (d, e) aralığı incelemesi
- d ile e arasında:
- f(x) < 0 (grafik x ekseninin altında)
- f’(x) > 0 (grafik yükseliyor)
- Yani: f(x) < 0, f’(x) > 0 → f(x) \cdot f'(x) < 0 , Eşitsizlik sağlanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) II ve III (b, c) ve (d, e) aralıklarında eşitsizlik sağlanır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Grafikte verilen aralıklardan hangilerinde f(x)·f′(x) < 0 eşitsizliği sağlanır? (I: (a,b), II: (b,c), III: (d,e))
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
f(x)·f′(x) < 0 ⇔ f(x) ve f′(x) zıt işaretlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Seçeneğini İncele (Yalnız I)
- (a,b) aralığında grafik x=a noktasından sonra yükselip b’de yerel maksimuma ulaşıyor.
- Bu aralıkta f(x) > 0 ve f′(x) > 0.
- f(x)·f′(x) > 0 olur, dolayısıyla (a,b) için eşitsizlik sağlanmaz.
Adım 2 — B Seçeneğini İncele (Yalnız II)
- (b,c) aralığında grafik b’den sonra azalıp c’de x-eksenini kesiyor.
- Bu aralıkta f(x) > 0 ve f′(x) < 0.
- f(x)·f′(x) < 0 olur, dolayısıyla (b,c) için eşitsizlik sağlanır.
Adım 3 — C Seçeneğini İncele (Yalnız III)
- (d,e) aralığında grafik d’de yerel minimumdan sonra yükselerek e’de x-eksenini kesiyor.
- Bu aralıkta f(x) < 0 ve f′(x) > 0.
- f(x)·f′(x) < 0 olur, dolayısıyla (d,e) için eşitsizlik sağlanır.
Adım 4 — D Seçeneğini İncele (I ve II)
- I için eşitsizlik sağlanmadığı için bu seçenek doğru olamaz.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
E. II ve III — (b,c) ve (d,e) aralıklarında f(x)·f′(x) < 0 sağlanır.
A. Yalnız I — (a,b) için ürün pozitif olduğu için yanlış.
B. Yalnız II — II doğru olsa da III de doğru olduğu için yanlış.
C. Yalnız III — III doğru olsa da II de doğru olduğu için yanlış.
D. I ve II — I yanlış olduğu için bu seçenek yanlış.
Adım 6 — Son Doğrulama
Grafikten görüldüğü üzere (b,c) aralığında fonksiyon pozitif ve türevi negatif, (d,e) aralığında fonksiyon negatif ve türevi pozitif; bu yüzden yalnızca bu iki aralıkta çarpım negatiftir.
CEVAP: E) II ve III
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?