Verilen Matematiksel İfade:
Anlam ve Adım Adım Çözüm:
Anlam:
Bu ifade, faktöriyel işlemine dayalı bir oran bulma sorusudur. Burada n değerini belirlemek için faktöriyel ilişkileri kullanılır.
Faktöriyel Nedir?
Faktöriyel bir pozitif tam sayının 1’e kadar olan çarpımını ifade eder. Örneğin:
- $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$
- $$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \cdot 1$$
Adım Adım Çözüm
Adım 1 – Faktöriyel İfadeleri Düzenleyelim
Faktöriyel terimlerini sadeleştirmek için şu yöntem kullanılabilir:
- $$ (x+1)! = (x+1) \cdot x! $$
Yukarıdaki ifadeyi kullanarak uzun faktöriyel ifadeleri sadeleştireceğiz.
Adım 2 – İfadeyi Açalım
Üstteki terimi düzenleyelim:
- $$(3n-2)! = (3n-2) \cdot (3n-3) \cdot (3n-4)!$$
- $$(2n-3)! = (2n-3) \cdot (2n-4)!$$
Alttaki terimi düzenleyelim:
- $$(3n-4)!$$ ve $$(2n-1)!$$ zaten sadeleştirilecektir.
Adım 3 – Sadeleştirme Yapalım
İfadeyi yerine koyduğumuzda:
Adım 4 – Ortak Terimleri Çıkaralım
- $$(3n-4)!$$ sadeleşir.
- $$(2n-4)!$$ sadeleşir.
- Ayrıca, $$(2n-3)$$ ortak terimdir ve sadeleşir.
Sonuç şu olur:
Adım 5 – Kesri Çözümleyelim
Eşitlik şu şekildedir:
Bu ifade oranı sağlamak için n değerini bulmak gerekir.
Adım 6 – n Değerini Bulmaya Çalışalım
Doğru n değerini bulmak için çeşitli n değerleri yerine konarak test edilir.
Eğer n=5:
- $$3n-2 = 13, ; 3n-3 = 12$$
- $$2n-1 = 9, ; 2n-2 = 8$$
İfadeyi yerine koyarsak:
Bu eşitlikle sağlanır.
Sonuç:
n = 5
Özet Tablo:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Faktöriyel Açımları | Faktöriyel ifadeler sadeleştirildi | Ortak terimler sadeleşti |
| Kesirlerin Düzenlenmesi | Faktöriyel oranları yerine yazıldı | n = 5 test edildi |
| Sonuç | Doğru n değeri bulundu | n = 5 |
(3n−3)! (2n−3)! / (3n−4)! (2n−4)! = 1/10 denklemini nasıl çözebiliriz?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, payda ve paydadaki faktöriyelleri parçalayıp basitleştirerek (3n−3)(2n−3) ifadesine ulaşıyoruz. Ardından bir denklem elde edip onu adım adım çözüyoruz. Böylece n değerlerinin yaklaşıklıklarını buluyoruz.
Table of Contents
1. Denklemin İncelenmesi
Verilen denklem şöyledir:
\frac{(3n-3)!\,(2n-3)!}{(3n-4)!\,(2n-4)!} = \frac{1}{10}
Bu tip bir ifadede faktöriyel bölme işlemleri çoğunlukla (m!) / ((m−1)!) = m ilkesine dayalı olarak basitleştirilir. Denklemi buna göre adım adım sadeleştirebiliriz.
2. Temel Tanımlar
- Faktöriyel (n!): Pozitif bir tam sayı n için 1’den n’e kadar olan sayıların çarpımını ifade eder. Örneğin, 5! = 1×2×3×4×5 = 120.
- Sadeleştirme (Factorial Division): (m!) / ((m−1)!) = m bağıntısından yararlanarak hesaplama yapma yöntemidir.
- Çarpanlara Ayırma: (ab)(cd) türü bir ifade incelenirken a, b, c, d değerlerinin nasıl türetildiğinin anlaşılmasını sağlar.
3. Adım Adım Çözüm
Denklemimizin pay kısmı ve payda kısmını ayrı ayrı inceleyelim.
Adım 1: Faktöriyellerin Sadeleştirilmesi
- (3n−3)! = (3n−3) × (3n−4)!
- (2n−3)! = (2n−3) × (2n−4)!
Denklemin payı:
(3n-3)!\,(2n-3)! = \bigl((3n-3) \times (3n-4)!\bigr)\,\bigl((2n-3) \times (2n-4)!\bigr)
Denklemin paydası ise:
(3n-4)!\,(2n-4)!
Bu durumda pay/payı bölmek şu şekilde basitleşir:
$
\frac{(3n-3)!,(2n-3)!}{(3n-4)!,(2n-4)!}
\frac{(3n-3),(3n-4)!,(2n-3),(2n-4)!}{(3n-4)!,(2n-4)!}
(3n-3),(2n-3)
$
Adım 2: Bulduğumuz İfadeyi Denkleme Yerleştirme
Artık denklem şu hâle geliyor:
(3n - 3)\,(2n - 3) = \frac{1}{10}
Adım 3: Çarpımların Genişletilmesi
Soldaki çarpımı açalım:
(3n - 3)(2n - 3) = 6n^2 - 9n - 6n + 9 = 6n^2 - 15n + 9
Böylece denklem aşağıdaki şekli alır:
6n^2 - 15n + 9 = \frac{1}{10}
Adım 4: Ortak Payda Oluşturma ve Denklem Dönüşümü
Her iki tarafı 10 ile çarparak kesirden kurtulalım:
10 \times (6n^2 - 15n + 9) = 10 \times \frac{1}{10}
60n^2 - 150n + 90 = 1
Ardından:
60n^2 - 150n + 89 = 0
Bu, standart bir ikinci dereceden (kare) denklem haline gelir.
Adım 5: İkinci Dereceden Denklemin Çözümü
Denklem:
60n^2 - 150n + 89 = 0
Kare denklem formülüne göre:
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Burada a = 60, b = −150, c = 89.
Öncelikle diskriminantı (Δ) hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4\cdot60\cdot89
(-150)^2 = 22500
4 \cdot 60 \cdot 89 = 21360
Dolayısıyla:
\Delta = 22500 - 21360 = 1140
Kare kökünü yaklaşık olarak değerlendirdiğimizde:
\sqrt{1140} \approx 33.77
Dolayısıyla n için:
n = \frac{150 \pm 33.77}{2 \cdot 60} = \frac{150 \pm 33.77}{120}
- n₁ ≈ (150 + 33.77) / 120 ≈ 183.77 / 120 ≈ 1.53
- n₂ ≈ (150 − 33.77) / 120 ≈ 116.23 / 120 ≈ 0.97
Görüldüğü gibi, denklem tamsayı çözümlere sahip değildir.
4. Genel Çözüm Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Faktöriyelleri Sadeleştirme | (3n−3)! ÷ (3n−4)! = 3n−3, (2n−3)! ÷ (2n−4)! = 2n−3 | (3n−3)(2n−3) |
| 2. Denklemi Yazma | (3n−3)(2n−3) = 1/10 | 6n² − 15n + 9 = 1/10 |
| 3. Kesirden Kurtulma | Her iki tarafı 10 ile çarparak düzenleme | 60n² − 150n + 90 = 1 |
| 4. Son Hâle Dönüştürme | 60n² − 150n + 89 = 0 | İkinci dereceden denklem |
| 5. Kare Denklem Formülü | n = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a) ( a=60, b=−150, c=89 ) | n ≈ 1.53 veya n ≈ 0.97 |
5. Özet ve Sonuç
• Verilen (3n−3)!,(2n−3)! / (3n−4)!,(2n−4)! = 1/10 ifadesi, faktöriyellerin sadeleştirilmesiyle (3n−3)(2n−3) = 1/10 biçimine indirgenir.
• Bu eşitliği çözünce, n için ikinci dereceden denklem oluşur ve yaklaşık olarak n ≈ 1.53 veya n ≈ 0.97 sonuçları elde edilir.
• Eğer n bir tamsayı olmak zorundaysa, bu denklem için geçerli bir tamsayı çözümü yoktur.
Bu adımlar neticesinde, denklem tamsayı değerlerde geçerli bir çözüme sahip değildir; ancak reel sayılar arasında 2 farklı yaklaşık çözüme ulaşılır.