Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgenin Alanı Nasıl Hesaplanır?

YKS TYT
1

IMG-20260129-WA0009
IMG-20260129-WA0009720×960 24.2 KB

2

Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgenin Alanı Nasıl Hesaplanır?

Önemli Noktalar

  • Üçgen ABO birim çember üzerinde bulunur, yani çember yarıçapı 1’dir.
  • A noktası x ekseninde ve B noktası çember üzerindedir.
  • Verilen merkez açı m(BOA) = 20° olarak belirtilmiş.
  • Üçgenin alanı, iki kenar ve aralarındaki açıyla hesaplanabilir.

ABO üçgeninin alanı, iki kenarı ve aralarındaki açının sinüsünün yarısıyla bulunur. Yarıçap birim olduğundan, alan hesaplaması kolaydır.

İçindekiler

  1. ABO Üçgeninin Alan Formülü
  2. Verilen Açı ve Yarıçap Bilgisiyle Alan Hesabı
  3. Sonuç ve Doğru Seçenek
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

ABO Üçgeninin Alan Formülü

Bir üçgenin alanı, iki kenarı ve aralarındaki açı ile şöyle bulunur:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)

Burada:

  • a ve b, iki kenarın uzunlukları
  • \theta, bu iki kenar arasındaki açıdır.

Birim çemberde, OA = OB = 1 (yarıçap),

Bu durumda:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin(\angle AOB) = \frac{\sin(\angle AOB)}{2}

Verilen Açı ve Yarıçap Bilgisiyle Alan Hesabı

  • \angle BAO = 20^\circ olarak verilmiş.
  • Ancak, burada bize \angle AOB yani merkez açı lazım.

A noktası x ekseninde olduğuna göre, \angle AOB açısı 2 \times 20^\circ = 40^\circ 'dır. Çünkü \angle BAO = 20^\circ ise, B ile x ekseni arasındaki açının iki katı merkez açısı olur (çemberde kiriş ve merkez açı ilişkisi).

Yani:

\angle AOB = 40^\circ

Alan için:

\text{Alan} = \frac{\sin 40^\circ}{2}

Sonuç ve Doğru Seçenek

Yukardaki hesaplamaya göre doğru cevap:

A şıkkı: \frac{\sin 40^\circ}{2}

Özet Tablo

Element Detay
Üçgen ABO
Yarıçap (OA, OB) 1 (birim çember)
Verilen İç Açı \angle BAO = 20^\circ
Merkez Açı (\angle AOB) 2 \times 20^\circ = 40^\circ
Alan Formülü \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin 40^\circ
Sonuç \frac{\sin 40^\circ}{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Merkez açı ile çevre açı arasındaki ilişki nedir?
Merkez açı, kirişin iki ucu ile merkez arasında kalan açıdır. Çevre açı ise aynı kirişin bir ucu ve çevre üzerindeki başka bir nokta arasında oluşur. Merkez açı, çevre açının iki katıdır.

2. Neden OA ve OB uzunlukları 1 olarak alındı?
Çember birim çemberdir, yarıçapı 1 birimdir. Bu yüzden merkezden herhangi bir noktaya olan uzaklık 1’dir.

3. Alan hesaplaması için neden sinüs kullanılır?
İki kenar ve aralarındaki açının sinüsü, üçgenin alanını hesaplamak için temel trigonometrik formüldür.

Sonraki Adımlar

Başka çember sorularında açı ilişkileri ve alan hesaplamalarını öğrenmek ister misiniz? Ya da karmaşık üçgen alan hesaplarına yönelik örnekler görmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

3

Resimli Soru 29-01-2026 15:31:20

Önemli Noktalar:

  • Üçgende AO = OB = 1 (çemberin yarıçapı)
  • ∠BAO = 20° ⇒ ∠AOB = 180° – 2·20° = 140°
  • Alan formülü: \tfrac12ab\sin C

Alan

[ΔAOB] = \tfrac12\,(AO)(OB)\,\sin∠AOB = \tfrac12\cdot1\cdot1\cdot\sin140° = \tfrac12\,\sin40°

Cevap şıkkı: A) \displaystyle\frac{\sin40°}{2}