Birim çember üzerinde A(cos 130°, sin 130°) ve B(cos 250°, sin 250°) noktalarına göre |AB| uzunluğu kaç birimdir?

YKS TYT
1

IMG_20260128_224556_1
IMG_20260128_224556_1720×960 19.9 KB

2

Birim Çemberde Noktalar Arası Mesafe Nasıl Hesaplanır?

Önemli Noktalar

  • Birim çember üzerindeki iki noktanın koordinatları genellikle sinüs ve kosinüs cinsindendir: A(\cos \alpha, \sin \alpha), B(\cos \beta, \sin \beta)
  • İki nokta arası uzaklık formülü:
    |AB| = \sqrt{(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2}
  • Trigonometrik dönüşümlerle bu mesafe, açı farkının kosinüs fonksiyonuyla ilişkili bir ifadeye dönüşür:
    |AB| = \sqrt{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = 2 \sin\left(\frac{|\alpha-\beta|}{2}\right)

Birim çemberde iki nokta arası mesafe, açılarının farkıyla doğrudan ilişkilidir ve yukardaki formüllerle kolayca hesaplanabilir.

İçindekiler

  1. Soru Problemi ve Verilen Bilgiler
  2. Mesafe Formülünün Türetilmesi ve Uygulaması
  3. Sonuç ve Şıkların İncelenmesi

Soru Problemi ve Verilen Bilgiler

  • Noktalar:
    A(\cos 130^\circ, \sin 130^\circ), \quad B(\cos 250^\circ, \sin 250^\circ)
  • İstenen:
    |AB| \text{ uzaklığı}

Birim çemberdeki noktalar olduğundan iki noktanın koordinatları trigonometrik olarak verilmiş. Burada amaç verilen açılarla mesafeyi hesaplamak.

:light_bulb: Pro Tip: Birim çemberde (x,y) = (\cos \theta, \sin \theta) olduğunda, noktalar arasındaki mesafe açının kosinüsünün bir fonksiyonu olarak sadeleşir.

Mesafe Formülünün Türetilmesi ve Uygulaması

İki nokta arasındaki mesafe:

|AB| = \sqrt{(\cos 130^\circ - \cos 250^\circ)^2 + (\sin 130^\circ - \sin 250^\circ)^2}

Ancak trigonometrik özdeşlikler yardımıyla daha pratik hesaplama:

|AB| = \sqrt{2 - 2 \cos(130^\circ - 250^\circ)} = \sqrt{2 - 2 \cos(-120^\circ)} = \sqrt{2 - 2 \cos 120^\circ}

Not: \cos(-\theta) = \cos \theta, açı farkı mutlak alınabilir.

\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} olduğundan:

|AB| = \sqrt{2 - 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}

Yani mesafe \sqrt{3} birimdir.

:warning: Uyarı: Açı farkının doğru alınması ve işaretlere dikkat etmek çok önemlidir.

Sonuç ve Şıkların İncelenmesi

Şık Değer Açıklama
A \frac{1}{\sqrt{3}} Yanlış
B 1 Yanlış
C \sqrt{2} Yanlış
D \sqrt{3} Doğru
E 2 Yanlış

Doğru cevap D şıkkı: \sqrt{3}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden mesafe formülünü açıların farkı ile ifade ediyoruz?
Çünkü birim çemberde her nokta açının kosinüs ve sinüs değerleri ile tanımlanır; mesafe koordinat farklarının karekökü olduğundan trigonometrik özdeşliklerle açının farkına bağlı bir formula dönüşür.

2. Açı farkı negatif çıkarsa ne yapmalıyım?
Kosininüs fonksiyonu çift fonksiyondur, yani \cos(-\theta) = \cos \theta. Dolayısıyla açı farkının işareti mesafeyi etkilemez, mutlak değeri veya pozitif haliyle işlem yapılır.

3. Bu yöntem yalnızca birim çember için mi geçerlidir?
Evet, koordinatlar trigonometrik olarak ve birim yarıçaplı çember için verilmişse geçerlidir. Farklı yarıçaplarda mesafe yarıçapla çarpılır.

Sonraki Adımlar

Bu trigonometrik mesafe hesaplarını pratik yapmak ister misiniz? Örneğin farklı açılarla benzer sorular çözme veya bu yöntemle üçgenlerde kenar hesaplama tekniklerini öğrenmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

3

Birim çember üzerinde A(cos 130°, sin 130°) ve B(cos 250°, sin 250°) noktalarına göre |AB| uzunluğu kaç birimdir?

Önemli Noktalar

  • A noktasının açısı 130°, B noktasının açısı 250°’dir.
  • Kiriş uzunluğu formülü: |AB|^2 = 2 - 2\cos(\Delta\theta).
  • Açılar arası fark \Delta\theta = 250° - 130° = 120° olduğunda |AB| = \sqrt{3} olur.

Doğru Yanıt: |AB| = \sqrt{3} birim.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Noktalar arasındaki merkez açı farkını bulun:
    \Delta\theta = 250° - 130° = 120°.
  2. Kiriş uzunluğu formülünü uygulayın:
    |AB|^2 \;=\; (\cos130° - \cos250°)^2 + (\sin130° - \sin250°)^2 \;=\; 2 - 2\cos(\Delta\theta).
  3. \cos120° = -\tfrac12 olduğundan
    |AB|^2 = 2 - 2\bigl(-\tfrac12\bigr) = 2 + 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad |AB| = \sqrt{3}.

Karşılaştırmalı Tablo

Açı farkı ve kiriş uzunluğu ilişkisi (genel formül: |AB| = 2\sin\!\bigl(\tfrac{\Delta\theta}{2}\bigr)):

| Açı Farkı (\Delta\theta) | Kiriş Uzunluğu (|AB|) |
|-------------------------------:|:-----------------------------|
| 60° | 2\sin(30°)=1 |
| 90° | 2\sin(45°)=\sqrt{2} |
| 120° | 2\sin(60°)=\sqrt{3} |

Özet Tablosu

Özellik Değer
Açı farkı \Delta\theta 120°
$ AB
Kiriş uzunluğu $ AB

SSS

  1. Kiriş uzunluğu nasıl hesaplanır?
    Kiriş |AB| = 2\sin\bigl(\tfrac{\Delta\theta}{2}\bigr) formülüyle bulunur.

  2. Birim çemberde merkez açı farkı nasıl bulunur?
    İki noktanın açılarını çıkararak \Delta\theta elde edilir.

  3. Kiriş uzunluğu ve kosinüs bağıntısı arasındaki bağlantı nedir?
    |AB|^2 = 2 - 2\cos(\Delta\theta) ifadesi merkezi açı bağıntısını kullanır.

  4. Farklı \Delta\theta değerleri için çemberdeki kiriş uzunlukları nasıl değişir?
    Tabloya bakarak \Delta\theta büyüdükçe |AB|=2\sin(\tfrac{\Delta\theta}{2}) değerinin arttığı gözlemlenir.

Çan eğrisi üzerinde farklı açılarla benzer hesaplamaları denemek ister misiniz? @Meral_Bektas