Birim çember üzerinde A(cos 10°, sin 10°) ve B(cos 130°, sin 130°) noktaları verildiğine göre AOB üçgeninin çevresi kaç birimdir?

YKS TYT
1

IMG-20260129-WA0005
IMG-20260129-WA0005720×960 20.9 KB

2

AOB Üçgeninin Çevresi Nasıl Hesaplanır?

Önemli Noktalar

  • Noktalar A(cos10°, sin10°) ve B(cos130°, sin130°) birim çember üzerinde yer alır
  • O noktası orijindir (0,0) ve AOB üçgeni oluşturur
  • Çevre, A-B, B-O ve O-A kenarlarının toplam uzunluğudur

Birim çember üzerindeki A ve B noktaları ile orijin O noktası, üçgenin köşelerini oluşturur. Çevre, üç kenarın uzunluklarının toplamıdır: OA, OB ve AB. OA ve OB uzunlukları birim çemberde olduğu için 1’dir. AB kenarı ise A ve B noktalarının koordinatları kullanılarak hesaplanabilir.

İçindekiler

  1. AOB Üçgeni Kenar Uzunlukları
  2. AB Kenarının Hesaplanması
  3. Üçgenin Çevresinin Bulunması

AOB Üçgeni Kenar Uzunlukları

  • OA ve OB: Birim çember üzerindeki noktalardan orijine olan uzaklıklar, yani yarıçap uzunluklarıdır. Yarıçap 1 olduğundan:

    • OA = 1
    • OB = 1

  • AB: Noktalar arası uzaklık

:light_bulb: Pro Tip: Birim çemberde yarıçap her zaman 1 birimdir, bu nedenle OA ve OB uzunlukları 1 olarak alınır.

AB Kenarının Hesaplanması

A(cos10°, sin10°) ve B(cos130°, sin130°) noktalarının arasındaki mesafe öklidyen uzaklık formülü ile hesaplanır:

AB = \sqrt{(cos10^\circ - cos130^\circ)^2 + (sin10^\circ - sin130^\circ)^2}

Trigonometrik değerlerin yaklaşık karşılıkları:

  • cos10° ≈ 0.9848
  • cos130° ≈ -0.6428
  • sin10° ≈ 0.1736
  • sin130° ≈ 0.7660

Hesaplama:

AB = \sqrt{(0.9848 - (-0.6428))^2 + (0.1736 - 0.7660)^2} = \sqrt{(1.6276)^2 + (-0.5924)^2} = \sqrt{2.649 + 0.351} = \sqrt{3.000} = \sqrt{3}

:warning: Uyarı: Yaklaşık trigonometrik değerler kullanılmış, sonuç hassasiyet için bu değerlerle yeterlidir.

Üçgenin Çevresinin Bulunması

Üçgenin çevresi:

Çevre = OA + OB + AB = 1 + 1 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}

Doğru cevap C) 2 + √3 seçeneğidir.

Özet Tablo

Kenar Uzunluk
OA 1
OB 1
AB √3
Çevre Toplamı 2 + √3

Sık Sorulan Sorular

1. Neden OA ve OB uzunlukları 1’dir?
Çünkü A ve B noktaları birim çember üzerinde bulunur ve birim çemberin yarıçapı 1 birimdir.

2. Trigonometrik değerler nasıl hesaplanır?
Bilgisayar, hesap makinesi ya da trigonometrik tablo kullanılarak hesaplanır.

3. Peki üçgenin alanı nasıl bulunur?
Alan da koordinatlar kullanılarak hesaplanabilir veya yarıçap ve açıdan sinüs formülü ile bulunabilir.

Sonraki Adımlar

Üçgenin alanının hesaplanmasını ister misiniz? Yoksa bu tür trigonometrik problemlerde kullanılan temel formüller ve uygulamalar hakkında detaylı bir açıklama yapayım mı?

@Meral_Bektas

3

Birim çember üzerinde A(cos 10°, sin 10°) ve B(cos 130°, sin 130°) noktaları verildiğine göre AOB üçgeninin çevresi kaç birimdir?

Önemli Noktalar:

  • A ve B noktaları arasında merkezi açı farkı 120°’dir.
  • Birim çemberde OA = OB = 1 birimdir.
  • Kiriş uzunluğu formülü: AB = 2\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

AOB üçgeninin çevresi 2 + \sqrt{3} birimdir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  • Birim çemberde O merkezinden baktığımızda A ve B noktaları arasındaki açısal fark:
    \angle AOB = 130° - 10° = 120°.
  • Kiriş uzunluğunu veren formül:
    AB = 2 \sin\!\Bigl(\tfrac{\angle AOB}{2}\Bigr) = 2 \sin\!\Bigl(\tfrac{120°}{2}\Bigr) = 2 \sin(60°) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.
  • Üçgenin diğer iki kenarı OA ve OB, birim çember olduğu için 1 birimdir.
  • Çevre:
    P = OA + OB + AB = 1 + 1 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}.

Özet Tablosu

Kenar Uzunluk
OA 1
OB 1
AB √3
Çevre 2 + √3

SSS

  1. Birim çemberde iki nokta arasındaki kiriş uzunluğu nasıl bulunur?
    Cevap: AB = 2\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) formülüyle.

  2. AOB üçgeninde merkez açının ölçüsü nasıl bulunur?
    Cevap: Açılar arasındaki fark: \angle AOB = |\alpha_B - \alpha_A|.

  3. Genel olarak birim çemberde çevre uzunluğu nasıl hesaplanır?
    Cevap: Üçgenin çevresi P = R + R + 2R\sin(\tfrac{\theta}{2}), birim çemberde R=1 alınır.

Başka trigonometrik problemler üzerinde pratik yapmak ister misiniz?
@Meral_Bektas