Yukarıda verilen dairelerin içine birbirinden farklı pozitif tam sayılar yazılacaktır.
Birbirine bağlı olan herhangi iki daire içinde yazan sayılar aralarında asal sayı olacaktır.
Buna göre, boş dairelerin içine yazılabilecek sayıların toplamı en az kaçtır?
A) 25
B) 26
C) 30
D) 36
E) 37
Aralarında Asal Sayılar ve Graf Mantığı ile En Küçük Toplam
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birden başka ortak pozitif böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Bir sayının 12 ile aralarında asal olabilmesi için, 12’nin asal çarpanları olan 2 ve 3’e bölünmemesi (yani 2’nin veya 3’ün katı olmaması) gerekir. 1 sayısı ise tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 12 Sayısına Bağlı Dairelerin Belirlenmesi
Şekilde 12 sayısının bulunduğu daireye doğrudan bağlı olan 4 adet boş daire bulunmaktadır. Bu dairelere yazılacak sayılar 12 ile aralarında asal olacağından 2 ve 3 çarpanını içeremezler. En küçük toplamı elde etmek için bu 4 daireye yazılabilecek en küçük, birbirinden farklı pozitif tam sayılar seçilir:
\{1, 5, 7, 11\}
Bu sayıların toplamı:
1 + 5 + 7 + 11 = 24
Adım 2 — 12 Sayısına Bağlı Olmayan Dairenin Belirlenmesi
Sağ altta yer alan daire 12 ile doğrudan bağlı olmayıp, yalnızca 12’ye bağlı iki komşu daireye bağlıdır. Bu daireye verilebilecek sayı 2 veya 3’ün katı olabilir. Kullanılmamış en küçük pozitif tam sayı 2’dir.
- Komşularına tek sayılar (7 ve 11) yazıldığında, \text{EBOB}(2, 7) = 1 ve \text{EBOB}(2, 11) = 1 şartı kusursuz sağlanır.
Adım 3 — Boş Dairelerin En Küçük Toplamının Hesaplanması
Tüm sayılar birbirinden farklı ve bağlı daireler aralarında asal olacak şekilde yerleştirildiğinde:
\text{Toplam} = 1 + 2 + 5 + 7 + 11 = 26
CEVAP: B) 26
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 12’ye doğrudan bağlı olmayan daireye 2 sayısını verebilmek, toplamı en küçük değerde tutmanın anahtarıdır. 12’ye bağlı olan 4 dairenin alabileceği en küçük değerler toplamı zaten 24 olduğundan, toplamın 25 olması matematiksel olarak imkânsızdır.