Birbirinden farklı üç pozitif tamsayının aritmetik
ortalaması 45 tir. Bu sayıların en küçüğü, diger
ikisinin ortalamasından 15 eksiktir.
Buna göre, en küçük sayı kaçtır?
A) 24 B) 30 C) 35
D) 36
E) 40
(2005 - Öss)
Birbirinden farklı üç pozitif tamsayının aritmetik ortalaması sorusunun çözümü
KULLANILAN FORMÜL:
Aritmetik Ortalama = \frac{\text{Sayıların Toplamı}}{\text{Sayı Adedi}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Tanımlama ve Toplamı Bulma
Üç sayımıza a, b ve c diyelim. En küçük sayı a olsun.
Bu sayıların ortalaması 45 ise, toplamları:
$$a + b + c = 45 \times 3 = 135$$ olur.
Adım 2 — İkinci Bilgiyi Denkleme Dökme
Soruda, en küçük sayının (a), diğer ikisinin (b ve c) ortalamasından 15 eksik olduğu belirtiliyor:
a = \frac{b + c}{2} - 15
Bu denklemde -15’i karşıya atarsak:
a + 15 = \frac{b + c}{2}
Buradan içler dışlar çarpımı yaparak b + c toplamını a cinsinden buluruz:
b + c = 2a + 30
Adım 3 — Denklemleri Birleştirme ve Sonuca Ulaşma
Birinci adımda bulduğumuz a + b + c = 135 denkleminde, b + c yerine 2a + 30 yazalım:
a + (2a + 30) = 135
3a + 30 = 135
3a = 105
a = 35
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 35
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aritmetik Ortalama
- Tanım: Veri grubundaki elemanların toplamının eleman sayısına bölünmesidir.
- Bu problemde: Üç sayının toplamının 135 olduğunu bulmak için kullandık.
2. Denklem Kurma
- Tanım: Sözel ifadeleri matematiksel sembollerle ifade etmektir.
- Bu problemde: “Diğer ikisinin ortalamasından 15 eksiktir” ifadesini a = \frac{b+c}{2} - 15 şeklinde modelledik.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşlem Hatası
- Yanlış: Ortalamayı 45 alıp toplamı 90 (iki sayıymış gibi) hesaplamak.
- Doğru: 3 sayı olduğu için 45’i 3 ile çarparak 135 bulmak gerekir.
Eksik Denklem
- Yanlış: Sayıların birbirinden farklı olma şartını unutup deneme-yanılma yapmak.
- Doğru: Cebirsel yöntem (denklem kurma) her zaman en kesin sonucu verir.
Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan bir nokta oldu mu? İstersen aritmetik ortalamayla ilgili farklı bir örnek soru daha çözebiliriz.