Birbirinden farklı üç asal sayının toplamı 150 sayısına, çarpımları ise dört basamaklı ABAB doğal sayısına eşittir. Buna göre A + B toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

1000046901
10000469011877×334 106 KB

2

Matematik Problemi: Üç Asal Sayı ve ABAB Sayısı

Önemli Noktalar

  • Üç birbirinden farklı asal sayının toplamı 150
  • Bu asal sayıların çarpımı dört basamaklı ve ABAB formatında bir doğal sayı
  • Amaç: A + B toplamını bulmak

150 sayısına ulaşan üç farklı asal sayı bulmalıyız. Sonra çarpımlarının ABAB şeklinde (örneğin 2727, 3838 gibi) olduğunu doğrulamalıyız.

İçindekiler

  1. Verilen Bilgileri Anlama
  2. Toplamı 150 Olan Asal Sayıları Bulma
  3. ABAB Sayısı ve Özellikleri
  4. Çarpımın ABAB Olması Koşulu
  5. Sonuç: A + B Toplamı
  6. Sık Sorulan Sorular

Verilen Bilgileri Anlama

Birbirinden farklı üç asal sayı var, bunların toplamı 150.
Çarpımları ise dört basamaklı, ABAB biçiminde bir sayıya eşit.

ABAB, sayının ilk ve üçüncü rakamı A, ikinci ve dördüncü rakamı B olan 4 basamaklı bir sayı. Örneğin 2727, 3838, 4747 gibi.

Toplamı 150 Olan Asal Sayıları Bulma

Toplamı 150 olan 3 farklı asal sayı arıyoruz. Örneğin asal sayılar büyüklük sırasına göre: p < q < r ise;
p + q + r = 150.

Asal sayılar küçükten büyüğe: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, …

Bazı tahmin yaklaşımlarıyla;

  • 3 asal sayının toplamı 150 ise, ortalamaları yaklaşık 50 civarında olabilir.
  • 50 civarında asal sayılar: 47, 53, 59, 61, 67, 71 gibi

ABAB Sayısı ve Özellikleri

ABAB formatındaki dört basamaklı sayı:

ABAB = 1000 \times A + 100 \times B + 10 \times A + B = 1010A + 101B = 101(10A + B)

Bu sayı 101 ile çarpılabilir.

Önemli: ABAB sayısı mutlaka 101’in katıdır.

Çarpımın ABAB Olması Koşulu

Çarpım ABAB olduğuna göre:

p \times q \times r = 101(10A + B)

101 bir asal sayı olduğundan, 101 ya direkt asal sayılardan biridir ya da çarpanlarından biri 101’dir. Ancak toplamları 150 olduğuna göre ve 101 + (ikisi) = 150 demek olur, diğer iki sayının toplamı 49 olur.

  • Eğer 101 asal sayı üçlünün bir üyesiyse
  • Diğer ikisi p, q olarak tanımlanabilir ve p + q = 150 - 101 = 49

Şimdi diğer iki asal sayının toplamı 49 olan iki farklı asal sayıyı ve 101 ile birlikte toplam 150 olan üçlüyi bulalım:

Örneğin;

  • 2 ve 47 toplamı 49
  • 3 ve 46 (46 asal değil)
  • 7 ve 42 (42 asal değil)
  • 19 ve 30 (asal değil)
  • 23 ve 26 (26 asal değil)
  • 17 ve 32 (32 asal değil)
  • 29 ve 20 (20 asal değil)
  • 13 ve 36 (36 asal değil)

Sadece 2 ve 47 asal sayılar toplamı 49 yapar.

Üç asal sayı: 2, 47, 101
Toplam = 2 + 47 + 101 = 150
Çarpım = 2 × 47 × 101 = 2 × 4747 = 9494

Çarpım sayısı ABAB formatında mı?
9494 → A=9, B=4

Sonuç: A + B Toplamı

A + B = 9 + 4 = 13

Sık Sorulan Sorular

1. ABAB sayısı nedir?
ABAB, dört basamaklı ve birinci üçüncü rakamların A, ikinci ve dördüncü rakamların B olduğu sayıdır.

2. Neden 101 çarpanına bakıldı?
Çünkü ABAB sayısı 101 ile çarpılan bir sayı formundadır: ABAB = 101 \times (10A + B).

3. Üç asal sayının toplamı nasıl hesaplanır?
Toplama göre aday asal sayılar listelenip toplamı verilen sayıya eşit olan kombinasyon bulunur.

4. Başka çözümler olabilir mi?
Bu problemde asal sayıların farklı olması ve toplamın 150 olması, 101’in varlığını zorunlu kılar. Bu yüzden tek çözüm budur.

Sonraki Adımlar

Benzer problemlerde farklı rakam kombinasyonlarını nasıl inceleyeceğinizi öğrenmek ister misiniz?
Ya da asal sayılar ve sayı teorisi üzerine daha kapsamlı bir rehber ister misiniz?

@Rfa

3

Birbirinden farklı üç asal sayının toplamı 150 sayısına, çarpımları ise dört basamaklı ABAB doğal sayısına eşittir. Buna göre A + B toplamı kaçtır?

  • Asal sayılar p,q,r için p+q+r=150
  • Çarpımları dört basamaklı ABAB formatında ve ABAB=1010A+101B=101\,(10A+B)
  • 101 bir asal olduğundan pqr içinde mutlaka 101 faktörü var

A + B = 13

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. ABAB biçimli sayı için
    ABAB = 1000A + 100B + 10A + B = 1010A + 101B = 101\,(10A+B).
  2. pqr=ABAB olduğuna göre asal çarpanlardan biri mutlaka 101 olmalıdır.
  3. Geriye kalan iki asal p,q için
    p + q + 101 = 150 \quad \Longrightarrow \quad p + q = 49.
  4. Toplamı 49 eden asal çiftler içinde tek olanı (2,47)’dir.
  5. Bu durumda
    p\,q = 2 \cdot 47 = 94 = 10A + B
    yani A=9, B=4.
  6. Sonuç olarak
    A + B = 9 + 4 = 13.

Özet Tablo

Özellik Değer
Asal sayılar 2,\;47,\;101
Toplam p+q+r 150
Çarpım pqr 9494 (ABAB)
10A+B 94
(A,B) (9,4)
A+B 13

SSS

  1. S: “ABAB formatı” ne demek?
    C: Dört basamaklı, rakamlar A,B,A,B şeklinde tekrarlanan sayıdır (örneğin 9494).
  2. S: Neden mutlaka 101 almalıyız?
    C: Çünkü ABAB=101\,(10A+B) ifadesinde 101 asal çarpandır; bu nedenle pqr’nin içinde 101 olmak zorundadır.
  3. S: Toplam 49 yapan asal çifti nasıl bulduk?
    C: 49’u veren küçük asal çiftleri deneyerek (2,47)’ye ulaştık; başka uygun çift yoktur.
  4. S: Başka bir çözüm var mı?
    C: Bu şartlar altında tek çözüm budur.

Bu yöntemi pekiştirmek için başka bir ABAB formatlı sayı bulma pratiği yapmak ister misiniz?
@Rfa