Birbirinden Farklı Beş Asal Sayının Toplamı ve Çarpımı Sorusu

Maths Question
1

AYT MATEMATİK

  1. 2625- AYT
    Birbirinden farklı beş tane asal sayinin toplamları 100’e,
    çarpımları ise altı basamaklı ABCABC doğal sayısına
    eşittir.
    Buna göre A + B + C toplamı kaçtır?
    D) 17
    A) 8
    B) 11
    C) 14
    E) 20
    Sayı Basamakları Böl

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 107 KB

2

Birbirinden Farklı Beş Asal Sayının Toplamı ve Çarpımı Sorusu

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

  • Sayı Basamakları Çözümleme: ABCABC = ABC \times 1001
  • Asal Çarpanlara Ayırma: 1001 = 7 \times 11 \times 13
  • Asal Sayı Özellikleri: Toplamları çift olan asal sayıların içindeki “2” asalı durumu.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Sayı Basamaklarını Analiz Etme
Altı basamaklı ABCABC sayısını çözümlediğimizde:
ABCABC = 1000 \times ABC + 1 \times ABC = 1001 \times ABC olur.
Bu sayının asal çarpanlarını bulmak için 1001 sayısını bölelim:
1001 = 7 \times 11 \times 13
Dolayısıyla beş asal sayının çarpımı şu şekildedir:
p_1 \times p_2 \times p_3 \times p_4 \times p_5 = 7 \times 11 \times 13 \times ABC

Adım 2 — Asal Sayıları Belirleme
Elimizdeki beş farklı asal sayının çarpımı 7 \times 11 \times 13 \times ABC olduğuna göre, bu sayılardan üçü kesinlikle 7, 11 ve 13’tür. Diğer iki asal sayıyı (p_4 ve p_5) bulmak için toplam bilgisini kullanalım:
7 + 11 + 13 + p_4 + p_5 = 100
31 + p_4 + p_5 = 100
p_4 + p_5 = 69

Adım 3 — Toplamı 69 Olan Asal Sayıları Bulma
İki asal sayının toplamı 69 (tek sayı) ise, bu sayılardan biri mutlaka çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2’dir.
p_4 = 2 ise;
2 + p_5 = 69 \Rightarrow p_5 = 67 olur.
67 sayısı bir asal sayıdır. O halde beş asal sayımız: 2, 7, 11, 13 ve 67’dir.

Adım 4 — ABC Değerini Hesaplama
Sayıların çarpımı ABCABC olduğuna göre:
2 \times 7 \times 11 \times 13 \times 67 = 1001 \times (2 \times 67)
1001 \times 134 = 134134
Buradan ABC = 134 olarak bulunur.

Adım 5 — A + B + C Toplamını Bulma
A = 1, B = 3, C = 4 olduğuna göre:
A + B + C = 1 + 3 + 4 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 8 (A Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Çözümleme (Sayı Basamakları)

  • [Tanım:] Bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
  • [Bu problemde:] ABCABC yapısının her zaman 1001 ile bölünebildiğini fark etmek çözümün anahtarıdır.

2. Asal Sayı Toplamları

  • [Tanım:] Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır.
  • [Bu problemde:] İki asal sayının toplamı tek ise, sayılardan birinin kesinlikle 2 olması gerektiği kuralı kullanılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: 1001’in Çarpanlarını Karıştırmak

  • [Yanlış:] 1001 sayısını asal sanmak veya yanlış çarpanlara ayırmak.
  • [Doğru:] 1001 = 7 \times 11 \times 13 olduğu unutulmamalıdır.
  • [Neden Yanlış:] Bu çarpanlar bulunamazsa ABC değerine ulaşılamaz.

:cross_mark: 2 Asalını Atlamak

  • [Yanlış:] Toplamı 69 olan iki tek sayı aramak.
  • [Doğru:] Toplam tekse, çarpanlardan biri mutlaka çift asal sayı olan 2 olmalıdır.

Bu tür basamak kavramı sorularında 1001, 101, 111 gibi özel sayıların çarpanlarını bilmek sana hız kazandıracaktır. Benzer bir sayı basamakları sorusu daha çözmemi ister misin?