Birbirinden farklı beş asal sayının toplamı ve ABCABC sayısı sorusu

Maths Question
1

AYT MATEMATİK

  1. 2625- AYT
    Birbirinden farklı beş tane asal sayinin toplamları 100’e,
    çarpımları ise altı basamaklı ABCABC doğal sayısına
    eşittir.
    Buna göre A + B + C toplamı kaçtır?
    D) 17
    A) 8
    B) 11
    C) 14
    E) 20
    Sayı Basamakları Böl

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 145 KB

2

Birbirinden farklı beş asal sayının toplamı ve ABCABC sayısı sorusu

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

  • Çözümleme: ABCABC = ABC \times 1001
  • Asal Çarpanlara Ayırma: 1001 = 7 \times 11 \times 13
  • Asal Sayı Özellikleri: Toplamları çift olan tek sayıda asal sayının içinde mutlaka “2” asalı bulunmalıdır (çünkü diğer tüm asallar tektir).

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — ABCABC Sayısını Çözümleme
ABCABC sayısı basamak çözümlemesi yapıldığında;
100000A + 10000B + 1000C + 100A + 10B + C
= 100100A + 10010B + 1001C = 1001 \times (ABC) şeklindedir.
1001 sayısının asal çarpanları 7, 11 ve 13’tür. Yani çarpımımız:
7 \times 11 \times 13 \times (ABC) olur.

Adım 2 — Asal Sayıları Belirleme
Soruda beş farklı asal sayının çarpımının bu sayıya eşit olduğu söylenmiştir. Çarpanlarımızın içinde zaten 7, 11 ve 13 bulunmaktadır. Beş farklı asal sayının toplamı 100 (çift bir sayı) olduğuna göre, bu beş asaldan biri mutlaka 2 olmalıdır.
Şu ana kadar elimizdeki asallar: 2, 7, 11, 13.
Toplamları: 2 + 7 + 11 + 13 = 33.
Beşinci asal sayı x olsun: 33 + x = 100 \implies x = 67.
67 bir asal sayıdır. O halde beş asal sayımız: \{2, 7, 11, 13, 67\}'dir.

Adım 3 — ABC Üç Basamaklı Sayısını Bulma
Bu beş sayının çarpımı ABCABC sayısını verir:
2 \times 7 \times 11 \times 13 \times 67 = (7 \times 11 \times 13) \times (2 \times 67)
= 1001 \times 134
Buradan ABC = 134 olduğu görülür.

Adım 4 — A + B + C Toplamını Hesaplama
ABC = 134 olduğuna göre;
A = 1, B = 3, C = 4
A + B + C = 1 + 3 + 4 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 8 (A Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Basamak Çözümleme

  • [Tanım:] Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaktır.
  • [Bu problemde:] ABCABC sayısının 1001 \times ABC olduğunu görerek 7, 11, 13 çarpanlarına ulaştık.

2. Asal Sayıların Toplamı

  • [Tanım:] 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir.
  • [Bu problemde:] Beş asal sayının toplamı çift (100) ise, bu sayılardan biri mutlaka çift olan tek asal sayı yani 2 olmalıdır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: 1001’in Çarpanlarını Karıştırmak

  • [Yanlış:] 1001 sayısını asal çarpanlarına ayırmadan işlem yapmak.
  • [Doğru:] 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 bilgisini kullanmak hız kazandırır.
  • [Neden yanlış:] Çarpım sonucundaki asalları eksik bulmanıza neden olur.

:cross_mark: 2 Asalını Unutmak

  • [Yanlış:] Beş tane tek asal sayıyı toplayarak 100 elde etmeye çalışmak.
  • [Doğru:] Tek + Tek + Tek + Tek + Tek = Tek olur. Toplam 100 (çift) ise asallardan biri 2 olmalıdır.

Bu çözümdeki mantıkla ilgili veya görseldeki “İKİZ SORU” olan ABABAB sorusunun çözümünü de merak ediyor musun?

3

@Egitim_Danismani evet

4

Altı basamaklı ABABAB sayısının asal çarpanları ve AB sayısı sorusu

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

  • Basamak Çözümleme: ABABAB = AB \times 10101
  • Çarpanlara Ayırma: 10101 = 3 \times 7 \times 13 \times 37
  • Asal Çarpan Toplamı: Sayıyı oluşturan farklı asal sayıların toplamı.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — ABABAB Sayısını Çözümleme
ABABAB sayısını şu şekilde parçalayabiliriz:
ABABAB = 10000 \times AB + 100 \times AB + 1 \times AB
ABABAB = AB \times (10000 + 100 + 1) = AB \times 10101

Adım 2 — 10101 Sayısının Asal Çarpanlarını Bulma
10101 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
10101 = 3 \times 3367
3367 = 7 \times 481
481 = 13 \times 37
Yani 10101 = 3 \times 7 \times 13 \times 37 olur.
Bu sabit çarpanların toplamı: 3 + 7 + 13 + 37 = 60 eder.

Adım 3 — Farklı Asal Çarpanların Toplamını Kullanma
Soruda ABABAB sayısının farklı asal çarpanlarının toplamının 62 olduğu verilmiştir.
Sabit çarpanlardan gelen toplam 60 olduğuna göre, AB iki basamaklı sayısından gelecek olan yeni/farklı asal çarpanların toplamı 62 - 60 = 2 olmalıdır.
Bu da demektir ki AB sayısının içinde asal çarpan olarak sadece 2 bulunabilir (veya AB sadece 3, 7, 13, 37 asallarından oluşmalıdır).

Adım 4 — Seçeneklerin Analizi
AB sayısı öyle bir sayı olmalı ki, asal çarpanları ya sadece 2 olmalı ya da zaten elimizde olan \{3, 7, 13, 37\} kümesinden olmalıdır.

  • A) 16: 16 = 2^4. Asal çarpanı sadece 2’dir. Toplam: 60 + 2 = 62 olur. (Olabilir)
  • B) 42: 42 = 2 \times 3 \times 7. Yeni gelen asal 2’dir (3 ve 7 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62 olur. (Olabilir)
  • C) 52: 52 = 2^2 \times 13. Yeni gelen asal 2’dir (13 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62 olur. (Olabilir)
  • D) 66: 66 = 2 \times 3 \times 11. Burada 11 asalı işin içine girer. Toplam: 60 + 2 + 11 = 73 olur. (Olamaz)
  • E) 74: 74 = 2 \times 37. Yeni gelen asal 2’dir (37 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62 olur. (Olabilir)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 66 (D Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Sabit Çarpanlar

  • [Tanım:] Tekrar eden basamak yapısına sahip sayılarda (ABABAB gibi) her zaman ortak olan çarpanlardır.
  • [Bu problemde:] 10101 sayısı her zaman 3, 7, 13, 37 asallarını barındırır.

2. Asal Çarpan Toplamı

  • [Kural:] Toplama sadece “farklı” olan asallar birer kez dahil edilir. AB sayısının içindeki asallar halihazırda varsa toplama yeni bir değer katmazlar.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: 10101’i Yanlış Ayırmak

  • [Doğru:] 10101 = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37. Bu sayının çarpanlarını bilmek AYT tarzı sorularda çok büyük zaman kazandırır.

:cross_mark: Mevcut Asalları Tekrar Toplamak

  • [Yanlış:] AB=42 için 2, 3 ve 7’yi tekrar toplamaya dahil etmek.
  • [Doğru:] 3 ve 7 zaten 10101’den geldiği için toplamda sadece 2 asalı eksiktir.

Bu tarz “tekrar eden basamak” (ABCABC, ABABAB) sorularında çarpanlara ayırma yöntemini pekiştirmek için başka bir örnek çözmemi ister misin?