Ropyayn kaydet
6. SGRABİLİRLER
Birbirinden farklı a, b vec asal sayıları için
a
+ab+a•bc = 158
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre a + b +c toplamı kaçtır?
A) 14
B) 18
c) 19
D) 20
E) 26
Birbirinden farklı a, b ve c asal sayıları için a + ab + abc = 158 denkleminin çözümü
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bu tür sorularda ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır ve sayıların asal sayı olma özellikleri (2, 3, 5, 7, 11…) dikkate alınarak değer verilir.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Ortak Çarpan Parantezine Alma
Denklemin sol tarafındaki her terimde a çarpanı bulunmaktadır. Denklemi a parantezine alalım:
a \cdot (1 + b + b \cdot c) = 158
Adım 2 — 158 Sayısını Çarpanlarına Ayırma
158 çift bir sayıdır. Çarpanlarını bulalım:
158 = 2 \times 79
79 sayısı bir asal sayıdır. Bu durumda a sayısı ya 2 ya da 79 olmalıdır.
Adım 3 — a Değerini Belirleme
Eğer a = 79 olsaydı, parantez içindeki (1 + b + bc) ifadesinin 2 olması gerekirdi. Ancak b ve c asal sayılar (en küçük asal sayı 2’dir) olduğu için bu toplam 2’den çok daha büyük çıkacaktır.
Bu nedenle a = 2 olmalıdır.
Adım 4 — b ve c Değerlerini Bulma
a = 2 değerini denklemde yerine koyalım:
2 \cdot (1 + b + bc) = 158
1 + b + bc = 79
b + bc = 78
Şimdi bu ifadeyi b parantezine alalım:
b \cdot (1 + c) = 78
78 sayısının çarpanlarını düşünelim (b bir asal sayı olmalı):
- b = 2 olamaz (çünkü a, b, c birbirinden farklıdır ve a=2 bulduk).
- b = 3 olursa: 3 \cdot (1 + c) = 78 \implies 1 + c = 26 \implies c = 25 (25 asal değildir, bu ihtimal elendi).
- b = 13 olursa: 13 \cdot (1 + c) = 78 \implies 1 + c = 6 \implies c = 5 (5 asaldır, şartı sağlar).
Adım 5 — Değerlerin Kontrolü ve Toplam
Bulduğumuz sayılar:
- a = 2 (Asal)
- b = 13 (Asal)
- c = 5 (Asal)
Sayıların hepsi birbirinden farklı ve asaldır.
Şimdi toplamı hesaplayalım:
a + b + c = 2 + 13 + 5 = 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 20 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Asal Sayı
- [Tanım:] Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır.
- [Bu problemde:] a, b ve c değerlerinin seçilmesinde kısıtlayıcı faktör olarak kullanılmıştır.
2. Ortak Çarpan Parantezi
- [Tanım:] Bir toplama işlemindeki terimlerin ortak çarpanını parantez dışına alarak işlemi sadeleştirmektir.
- [Bu problemde:] a ve b değerlerini izole etmek için kullanılmıştır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Değerleri Aynı Seçmek
- [Yanlış:] a=2, b=2... gibi değerler vermek.
- [Doğru:] Soruda belirtilen “birbirinden farklı” ibaresine dikkat edilmelidir.
- [Neden Yanlış:] Sorunun kökündeki kısıtlamalar çözüm kümesini doğrudan etkiler.
Bu çözüm yoluyla ilgili kafana takılan veya benzer mantıkla çözmemi istediğin başka bir soru var mı?