Bir yolcu otobüsü tek seferde 50 yolcu taşıyabilmektedir. Bu otobüsün içinde x tane yolcu varken bir seferin maliyeti
f(x) = \frac{x^2}{4} + 10x + 400
fonksiyonu ile modellenmiştir.
Buna göre, belli sayıda yolcu ile sefere çıkacak bu otobüs, kapasitesinin yüzde kaçı kadar yolcu taşırsa yolcu başına maliyet en az olur?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 80
E) 90
Türev ile Maksimum-Minimum Problemleri ve Birim Maliyet Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birim (yolcu başına) maliyet fonksiyonu, toplam maliyetin yolcu sayısına bölünmesiyle elde edilir: g(x) = \frac{f(x)}{x}. Bu maliyetin minimum olması için türevinin sıfıra eşitlendiği (g'(x) = 0) kritik nokta bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yolcu Başına Maliyet Fonksiyonunun Kurulması
Otobüsteki yolcu sayısı x olmak üzere, toplam maliyet f(x) = \frac{x^2}{4} + 10x + 400 olarak verilmiştir. Yolcu başına maliyet fonksiyonunu g(x) ile ifade edelim:
g(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{x}{4} + 10 + \frac{400}{x}
Adım 2 — Birim Maliyeti Minimum Yapan Yolcu Sayısının (x) Bulunması
Fonksiyonun yerel minimum noktasını bulmak için birinci türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
g'(x) = \frac{1}{4} - \frac{400}{x^2} = 0
\frac{1}{4} = \frac{400}{x^2} \implies x^2 = 1600 \implies x = 40
Otobüste 40 yolcu olduğunda yolcu başına maliyet en az seviyeye ulaşır.
Adım 3 — Kapasite Yüzdesinin Hesaplanması
Otobüsün toplam kapasitesi 50 yolcudur. 40 yolcunun bu kapasiteye oranı:
\text{Yüzde} = \frac{40}{50} \times 100 = 80
CEVAP: D) 80 (Kapasitenin %80’i)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda toplam maliyetin (f(x)) değil, yolcu başına maliyetin (\frac{f(x)}{x}) en az olması istenmektedir. Doğrudan f'(x) = 0 almak en yaygın çeldirici hatadır. Birim maliyet, birim kâr gibi ifadelerde mutlaka fonksiyonun adede bölünmesi gerekir.