Bir yedigenin içindeki P noktası, yedigenin bütün kenarlarının orta noktalarına ve bir köşesine şekildeki gibi

YKS TYT
1

Bir yedigenin içindeki P noktası, yedigenin bütün kenarlarının orta noktalarına ve bir köşesine şekildeki gibi birleştirilmiştir. Oluşan bölgelerden altısının alanları birkare türünden şekil üzerinde verilmiştir.
Yedigenin alanı 86 birimkare olduğuna göre A bölgesinin alanı kaç birimkaredir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Bir yedigenin içindeki P noktası, yedigenin bütün kenarlarının orta noktalarına ve bir...
Bir yedigenin içindeki P noktası, yedigenin bütün kenarlarının orta noktalarına ve bir...860×800 166 KB

2

Çokgenlerde Kenarortay ve Alan Parçalama Bağıntısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen kenarortay, üçgenin alanını iki eşit parçaya böler. Çokgenin içindeki bir noktadan kenarların orta noktalarına çizilen doğru parçaları ile bir köşeye çizilen doğru parçası, ardışık alanlar arasında ikişerli toplam bağıntıları oluşturur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Kenarortay Özelliği ile Alt Alanların Tanımlanması
Yedigenin köşeleri saat yönünde V_1, V_2, \dots, V_7 ve kenar orta noktaları M_1, M_2, \dots, M_7 olsun. P noktası tepe köşesi olan V_1’e ve tüm kenar orta noktalarına birleştirilmiştir. P noktasından bir kenarın uçlarına ve orta noktasına inen üçgenlerde kenarortay alanı ikiye böldüğünden her bir kenara ait iki üçgensel parçanın alanı birbirine eşittir:

  • Alan(P M_7 V_1) = x_7 = A
  • Alan(P V_1 M_1) = x_1 = B
  • Alan(P M_1 V_2) = Alan(P V_2 M_2) = x_1 ve x_2 olup bu bölgenin alanı: x_1 + x_2 = 8
  • Sırasıyla diğer komşu iki parçalı bölgelerin alanları:
    x_2 + x_3 = 9
    x_3 + x_4 = 11
    x_4 + x_5 = 13
    x_5 + x_6 = 14
    x_6 + x_7 = 18

Adım 2 — A + B Toplamının Bulunması
Yedigenin toplam alanı 86 birimkare olarak verilmiştir. Şekildeki tüm bölgelerin toplamını yazalım:

A + B + 8 + 9 + 11 + 13 + 14 + 18 = 86
A + B + 73 = 86 \implies A + B = 13

Adım 3 — Alternatif Toplam ile A - B Farkının Bulunması
Verilen ikili alan denklemlerini ardışık olarak işaret değiştirerek toplayalım:

(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_5) + (x_5 + x_6) - (x_6 + x_7) = x_1 - x_7
8 - 9 + 11 - 13 + 14 - 18 = B - A
-7 = B - A \implies A - B = 7

Adım 4 — A Değerinin Hesaplanması
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayalım:
$$\begin{aligned}
A + B &= 13 \
A - B &= 7 \
\hline
2A &= 20 \implies A = 10
\end{aligned}$$

:white_check_mark: CEVAP: E) 10 (A = 10\text{ br}^2)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç noktadan kenar orta noktalarına çizilen doğru parçaları ile oluşan bölgeler ardışık olarak x_n + x_{n+1} şeklinde yazıldığında, işaret değiştirerek yapılan toplama işlemi teleskopik sadeleşme sağlar ve kenarortay sorularında doğrudan sonuca ulaştırır.