Bir yabancı dil kursunda A, B ve C sinifların-
daki öğrencilerin yaş ortalamasi sirasıyla 20, 26
ve 29’dur. A ile B sinıflarıindaki öğrencilerin
birlikte yaş ortalaması 23, B ile C siniflarındaki
Öğrencilerin birlikte yaş ortalamasI ise 28’dir.
Buna göre, bu üç sınıftaki öğrencilerin tününün
yaş ortalaması kaçtır?
A) 25,5
B) 26
C) 26,5
D) 27
E) 27,5
(2012- YGS)
Bir yabancı dil kursundaki A, B ve C sınıflarının yaş ortalaması problemi
[KULLANILAN FORMÜL:]
Aritmetik Ortalama = \frac{\text{Verilerin Toplamı}}{\text{Veri Sayısı}}
Bu problemde: \text{Yaş Toplamı} = \text{Ortalama} \times \text{Öğrenci Sayısı}
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Değişkenlerin Belirlenmesi ve Sınıf Mevcutları Arasındaki İlişki
A, B ve C sınıflarındaki öğrenci sayılarına sırasıyla a, b ve c diyelim.
- A sınıfının yaş toplamı: 20a
- B sınıfının yaş toplamı: 26b
- C sınıfının yaş toplamı: 29c
Adım 2 — A ve B Sınıflarının Ortalamasını Kullanarak a ve b Arasındaki İlişkiyi Bulma
A ve B sınıflarının birlikte ortalaması 23 ise:
\frac{20a + 26b}{a + b} = 23
20a + 26b = 23a + 23b
3b = 3a \implies a = b
Adım 3 — B ve C Sınıflarının Ortalamasını Kullanarak b ve c Arasındaki İlişkiyi Bulma
B ve C sınıflarının birlikte ortalaması 28 ise:
\frac{26b + 29c}{b + c} = 28
26b + 29c = 28b + 28c
c = 2b
Adım 4 — Tüm Sınıfların Ortalamasını Hesaplama
Artık tüm değişkenleri b cinsinden yazabiliriz: a = b ve c = 2b.
Toplam öğrenci sayısı: a + b + c = b + b + 2b = 4b
Toplam yaş: 20a + 26b + 29c = 20(b) + 26b + 29(2b)
Toplam yaş: 20b + 26b + 58b = 104b
Tüm sınıfların ortalaması: \frac{104b}{4b} = 26
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 26 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Aritmetik Ortalama
- [Tanım:] Bir veri grubundaki sayıların toplamının veri sayısına bölünmesidir.
- [Bu problemde:] Sınıflar birleştiğinde toplam yaş, toplam öğrenci sayısına bölünerek yeni ortalama bulunmuştur.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Ortalama Ortalaması Almak
- [Yanlış:] (20 + 26 + 29) / 3 = 25 yaparak sonucu bulmaya çalışmak.
- [Doğru:] Sınıf mevcutları farklı olabileceği için ağırlıklı ortalama kullanılmalıdır.
- [Neden yanlış:] Her sınıftaki öğrenci sayısı eşit olmadığı sürece bu yöntem hatalı sonuç verir.
Bu tür ortalama problemlerinde kişi sayıları arasındaki oranı bulmak her zaman en güvenli yoldur. Benzer bir ağırlıklı ortalama sorusu daha çözmemi ister misin?